Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho mặt cầu \((S): x^{2}+y^{2}+z^{2}-2 x-2 y-2 z=0\) và đường thẳng \(d:\left\{\begin{array}{l} x=m t \\ y=m^{2} t \\ z=m t \end{array}\right.\) với m là tham số. Tìm tất cả các giá trị của tham số m để đường thẳng d tiếp xúc với mặt cầu (S)?
Suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo sai\((S): x^{2}+y^{2}+z^{2}-2 x-2 y-2 z=0 \Leftrightarrow(x-1)^{2}+(y-1)^{2}+(z-1)^{2}=3 .\)
(S) có tâm \(I(1 ; 1 ; 1) \text { và } R=\sqrt{3}\)
đường thẳng (d) có VTCP: \(\vec{u}=\left(m ; m^{2} ; m\right)(m\ne0)\) và đi qua O(0;0;0)
\(\text { Đường thẳng } d \text { tiếp xúc với mặt cầu }(S) \Leftrightarrow d_{(I ; d)}=R\)
ta có: \([\overrightarrow{O I}, \vec{u}]=\left(m^{2}-m ; 0 ; m-m^{2}\right)\)
khi đó:
\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow \frac{|[\overrightarrow{O I}, \vec{u}]|}{|\vec{u}|}=R \\ \Leftrightarrow \frac{\sqrt{\left(m^{2}-m\right)^{2}+\left(m-m^{2}\right)^{2}}}{\sqrt{m^{2}+m^{4}+m^{2}}}=\sqrt{3} \\ \Leftrightarrow \frac{2\left(m^{2}-m\right)^{2}}{m^{4}+2 m^{2}}=3 \\ \Leftrightarrow 2 m^{4}-4 m^{3}+2 m^{2}=3 m^{4}+6 m^{2} \Leftrightarrow m^{4}+4 m^{3}+4 m^{2}=0 \Leftrightarrow\left[\begin{array}{l} m=0(l) \\ m=-2 \end{array}\right. \end{array}\)
Vậy m=-2
