Biết rằng hàm số \(f(x)=\left\{\begin{array}{ll} \sqrt{x} & \text { khi } x \in[0 ; 4] \\ 1+m & \text { khi } x \in(4 ; 6] \end{array}\right.\) liên tục trên [0;6]. Khẳng định nào sau đây đúng?
Suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo saiDễ thấy f(x) liên tục trên mỗi khoảng \((0 ; 4) \text { và }(4 ; 6)\).
Khi đó hàm số liên tục trên đoạn [0;6] khi và chỉ khi hàm số liên tục tại x=0;x=4;x=6.
Tức là \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} f(x) = f(0)}\\ {\mathop {\lim }\limits_{x \to {6^ - }} f(x) = f(6)}\\ {\mathop {\lim }\limits_{x \to {4^ - }} f(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {4^ + }} f(x) = f(4)} \end{array}\left( * \right)} \right.\)
Ta có:
\(\begin{array}{*{20}{l}} {\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} f(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} \sqrt x = 0}\\ {f(0) = \sqrt 0 = 0} \end{array}} \right.;}\\ {\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {\mathop {\lim }\limits_{x \to {6^ - }} f(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {6^ - }} (1 + m) = 1 + m}\\ {f(6) = 1 + m} \end{array};} \right.}\\ {\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {\mathop {\lim }\limits_{x \to {4^ - }} f(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {4^ - }} \sqrt x = 2}\\ {\mathop {\lim }\limits_{x \to {4^ + }} f(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {4^ + }} (1 + m) = 1 + m;}\\ {f(4) = 1 + m} \end{array}} \right.} \end{array}\)
Khi đó \((*) \text { trở thành } 1+m=2 \Leftrightarrow m=1<2 \text { . }\)
Câu hỏi liên quan
-
Cho hàm số \(f(x) = \left\{ \begin{array}{l} \dfrac{{\sqrt x - 2}}{{x - 4}}{\rm{ \ khi \ }}x \ne 4\\ \dfrac{1}{4}{\rm{ \ khi \ }}x = 4 \end{array} \right.\). Khẳng định nào sau đây đúng nhất?
-
Cho hàm số \(f(x)=\left\{\begin{array}{ll} \frac{x^{2}-x-2}{\sqrt{x-2}}+2 x & \text { khi } x>2 \\ x^{2}-x+3 & \text { khi } x \leq 2 \end{array}\right.\). Khẳng định nào sau đây đúng nhất?
-
Cho hàm số \(f(x)=2 \sin x+3 \tan 2 x\). Khẳng định nào sau đây đúng nhất?
-
Giới hạn dãy số \(\left(u_{n}\right) \text { với } u_{n}=\frac{3 n-n^{4}}{4 n-5}\) là:
-
Giá trị của \(\lim \frac{\sqrt{n+1}}{n+2}\) bằng:
-
Hàm số f(x) có đồ thị như hình bên không liên tục tại điểm có hoành độ là bao nhiêu?
-
Cho hàm số f(x) xác định và liên tục trên \(\mathbb{R} \text { với } f(x)=\frac{x^{2}-3 x+2}{x-1}\) với mọi \(x \neq 1 . \text { Tính } f(1)\).
-
Cho hàm số \(f(x)=\left\{\begin{array}{ll} \frac{\tan x}{x}, & x \neq 0 \wedge x \neq \frac{\pi}{2}+k \pi, k \in \mathbb{Z} \\ 0 & , x=0 \end{array}\right.\). Hàm số y=f(x) liên tục trên các khoảng
nào sau đây? -
Cho các số thực a, b, c thỏa mãn c2 + a = 18 và\( \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left( {\sqrt {a{x^2} + bx} - cx} \right) = - 2\). Tính P = a + b + 5c
-
Tìm giá trị thực của tham số k để hàm số \(y=f(x)=\left\{\begin{array}{ll} \frac{\sqrt{x}-1}{x-1} & \text { khi } x \neq 1 \\ k+1 & \text { khi } x=1 \end{array} \text { liên tục tại } x=1\right.\)
-
Tìm m để các hàm số \(f(x)=\left\{\begin{array}{ll} \frac{\sqrt[3]{x-2}+2 x-1}{x-1} & \text { khi } x \neq 1 \\ 3 m-2 & \text { khi } x=1 \end{array}\right.\) liên tục trên \(\mathbb{R}\)?
-
Cho hàm số \(f(x)=\left\{\begin{array}{ll} \frac{x+1+\sqrt[3]{x-1}}{x} & \text { khi } x \neq 0 \\ 2 & \text { khi } x=0 \end{array}\right.\). Khẳng định nào sau đây đúng nhất?
-
Kết quả đúng của \(\lim \left(5-\frac{n \cos 2 n}{n^{2}+1}\right)\) là
-
Tìm già trị của m để hàm số \(f(x)=\left\{\begin{array}{ll} \frac{x^{2}+x-2}{x-1} & \text { nếu } & x \neq 1 \\ m & \text { nếu } & x=1 \end{array}\right.\) liên tục tại x = 1.
-
Biết rằng \(\lim\limits _{x \rightarrow 0} \frac{\sin x}{x}=1\). Hàm số \(f(x)=\left\{\begin{array}{ll} \frac{\tan x}{x} & \text { khi } x \neq 0 \\ 0 & \text { khi } x=0 \end{array}\right.\) liên tục trên khoảng nào sau đây?
-
Hàm số y=f(x) có đồ thị dưới đây gián đoạn tại điểm có hoành độ bằng bao nhiêu?
-
Tìm các giá trị của tham số m để hàm số \(f(x)=\left\{\begin{array}{ccc} \frac{x^{2}-3 x+2}{x^{2}-2 x} & \text { nếu } & x<2 \\ m x+m+1 & \text { nếu } & x \geq 2 \end{array}\right.\) liên tục trên \(\mathbb{R}\).
-
Cho hàm số \(f\left( x \right)\; = \sqrt {{x^2} - 4} \). Chọn câu đúng trong các câu sau:
(I) f(x) liên tục tại x = 2.
(II) f(x) gián đoạn tại x = 2
(III) f(x) liên tục trên đoạn [-2; 2].
-
Chọn giá trị f(0) để hàm số \(f(x)=\frac{\sqrt{2 x+1}-1}{x(x+1)}\) liên tục tại điểm x=0.
-
Tìm a để hàm số \(\begin{aligned} &f(x)=\left\{\begin{array}{ll} \frac{x^{4}-5 x^{2}+4}{x^{3}-8} & \text { khi } x<2 \\ a x^{2}+x+1 & \text { khi } x \geq 2 \end{array}\right. \end{aligned}\) liên tục tại x=2.
