Cho AB và CD là hai dây cung vuông góc tại E của đường tròn (O). Vẽ hình chữ nhật AECF. Kết luận nào dưới chính xác?
Suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo saiTa có hình vẽ sau:
Đặt AE = a, EB = b, EC = c, ED = d.
Ta chọn hệ trục tọa độ sao cho E(0; 0), A(a; 0), B(b; 0), C(0; c) và D(0; d) và F(a; c).
Xét ∆AEC và ∆DEB, có: \(\widehat {AEC} = \widehat {DEB} = 90^\circ \)
\(\widehat {CAE} = \widehat {BDE}\) (hai góc nội tiếp cùng chắnCB)
\(\begin{array}{l} \Rightarrow {\rm{ }}\Delta AEC{\rm{ }}~{\rm{ }}\Delta DEB{\rm{ }}\left( {g{\rm{ }}-{\rm{ }}g} \right)\\ \Rightarrow {\rm{ }}\frac{{AE}}{{DE}} = \frac{{AC}}{{DB}} = \frac{{EC}}{{EB}}\\ \Rightarrow \frac{{AE}}{{DE}} = \frac{{EC}}{{EB}}\\ \begin{array}{*{20}{l}} { \Leftrightarrow {\rm{ }}AE.EB{\rm{ }} = {\rm{ }}DE.EC}\\ { \Leftrightarrow {\rm{ }}AE.EB{\rm{ }} = {\rm{ }}DE.EC}\\ { \Leftrightarrow {\rm{ }}a.b{\rm{ }} = {\rm{ }}d.c}\\ { \Leftrightarrow {\rm{ }}d.c{\rm{ }}-{\rm{ }}ab{\rm{ }} = {\rm{ }}0} \end{array} \end{array}\)
Ta có:
\(\begin{array}{l} \overrightarrow {{\rm{EF}}} = {\rm{ }}\left( {a;{\rm{ }}c} \right),\overrightarrow {BD} = {\rm{ }}\left( { - b;{\rm{ }}d} \right)\\ \Rightarrow \overrightarrow {{\rm{EF}}} .\overrightarrow {BD} = {\rm{ }}a.\left( { - b} \right){\rm{ }} + {\rm{ }}c.d{\rm{ }} = {\rm{ }} - {\rm{ }}ab{\rm{ }} + {\rm{ }}cd{\rm{ }} = {\rm{ }}0\\ \Rightarrow \overrightarrow {{\rm{EF}}} \bot \overrightarrow {BD} \\ \Rightarrow {\rm{ }}EF{\rm{ }} \bot {\rm{ }}BD. \end{array}\)