Cho các số thực x , y thoả mãn \((x-4)^{2}+(y-4)^{2}+2 x y \leq 32\) Giá trị nhỏ nhất m của biểu thức \(A=x^{3}+y^{3}+3(x y-1)(x+y-2)\)
Suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo sai\(\begin{array}{l} \text { Ta có }(x-4)^{2}+(y-4)^{2}+2 x y \leq 32 \Leftrightarrow(x+y)^{2}-8(x+y) \leq 0 \Leftrightarrow 0 \leq x+y \leq 8 \\ A=x^{3}+y^{3}+3(x y-1)(x+y-2)=(x+y)^{3}-3(x+y)-6 x y+6 \\ \Rightarrow K \quad \geq(x+y)^{3}-\frac{3}{2}(x+y)^{2}-3(x+y)+6 \end{array}\)
Đặt t=x+y. Do \(0 \leq x+y \leq 8 \text { nên } t \in[0 ; 8]\)
Xét hàm số \(f(t)=t^{3}-\frac{3}{2} t^{2}-3 t+6 \text { trên }[0 ; 8]\)
Ta có
\(f^{\prime}(t)=3 t^{2}-3 t-3, f^{\prime}(t)=0 \Leftrightarrow t=\frac{1+\sqrt{5}}{2} \text { hoặc } t=\frac{1-\sqrt{5}}{2}(\text { loại })\)
\(f(0)=6 ; f\left(\frac{1+\sqrt{5}}{2}\right)=\frac{17-5 \sqrt{5}}{4} ; f(8)=398\)
Suy ra \(A \geq \frac{17-5 \sqrt{5}}{4}\)
Vậy giá trị nhỏ nhất của A là \(\frac{17-5 \sqrt{5}}{4}\)
Câu hỏi liên quan
-
Giá trị lớn nhất của hàm số f\(f(x)=x \cdot e^{-2 x}\) trên đoạn [ 0;1] bằng
-
Cho hàm số \(\begin{equation} y=f(x) \end{equation}\) có bảng biến thiên như sau:
.PNG)
Khẳng định nào sau đây đúng?
-
Cho hàm số \(y=\frac{x+1}{2x-1}\). Chọn phương án đúng trong các phương án sau
-
Có một giá trị \({m_0}\) của tham số m để hàm số \(y = {x^3} + \left( {{m^2} + 1} \right)x + m + 1\) đạt giá trị nhỏ nhất bằng 5 trên đoạn \(\left[ {0;\,1} \right]\). Mệnh đề nào sau đây đúng?
-
\(\text{Tìm giá trị lớn nhất của hàm số }y = f\left( x \right) = \frac{{ - 1 - 5x}}{x} \text{ trên đoạn } \left[ {1;3} \right]\)
-
Có bao nhiêu giá trị của m để giá trị nhỏ nhất của hàm số \(f\left( x \right) = \left| {{e^{2x}} - 4{e^x} + m} \right|\) trên [ 0; ln4] bằng 6
-
\(\text{Tìm giá trị lớn nhất của hàm số }y = f\left( x \right) = \frac{{ - 2x - 5}}{{x + 3}}\text{ trên đoạn } \left[ {0;5} \right]\)
-
Cho hàm số y=f(x) có bảng biến thiên như sau:
Khẳng định nào sau đây đúng?
-
Hàm số \(y=(x-1)^{2}+(x+3)^{2}\) có giá trị nhỏ nhất bằng:
-
\(\text{Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số }y = f\left( x \right) = \frac{{4x - 7}}{x}\text{ trên đoạn } \left[ { - 5; - 1} \right]\)
-
Giá trị nhỏ nhất của hàm số \(y=e^{x}\left(x^{2}-x-1\right)\) trên đoạn [0;2] là
-
Cho hàm số f(x). Biết hàm số y = f'(x) có đồ thị như hình bên. Trên đoạn \({\rm{[}} – 4;3]\), hàm số \(g(x) = 2f(x) + {(1 – x)^2}\) đạt giá trị nhỏ nhất tại điểm.
.jpg.png)
-
Hình chữ nhật có chu vi không đổi là 8 m. Diện tích lớn nhất của hình chữ nhật đó là:
-
Giá trị nhỏ nhất của hàm số \(y=\frac{2x+1}{1-x}\)trên đoạn [2;3] bằng:
-
Cho \(x^{2}-x y+y^{2}=2 \text { . }\)Giá trị nhỏ nhất của \(P=x^{2}+x y+y^{2} b\) bằng
-
Cho hàm số \(y=5 \sqrt{3-x}\) . Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số
-
Một hành lang giữa hai tòa tháp có hình dạng một hình lăng trụ đứng. Hai mặt bên ABB’A’ và ACC’A’ là hai tấm kính hình chữ nhật dài 20m, rộng 5m. Với độ dài xấp xỉ nào của BC thì thể tích hành lang này lớn nhất
-
Cho hàm số f(x) = \(\frac{{x - {m^2} + m}}{{x + 1}}\) với m là tham số thực. Tìm tất cả các giá trị của m để hàm số có giá trị nhỏ nhất trên đoạn [0; 1] bằng – 2.
-
GTNN của hàm số \(y\; = \;x\; + \;2\; + \;\frac{1}{{\left( {x\; - \;1} \right)}}\) trên khoảng (1; +∞) là:
-
Hàm số \(y=\cos 2 x-3\) đạt giá trị nhỏ nhất trên đoạn \([0 ; \pi]\) bằng:
