Cho đa giác đều \(A_{1} A_{2} .... A_{2 m}\) (n ≥ 2, n nguyên) nội tiếp đường tròn (O). Biết rằng số tam giác có các đỉnh là 3 trong 2n điểm \(A_{1}, A_{2}, \ldots, A_{2 n}\) nhiều gấp hai mươi lần số hình chữ nhật có các đỉnh là 4 trong 2n điểm \(A_{1}, A_{2}, \ldots, A_{2 n}\). Tìm n.
Suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo sai\(\text { Có } \mathrm{C}_{2 n}^{3} \text { tam giác có các đỉnh là } 3 \text { trong } 2 n \text { điểm. }\)
Đa giác đều \(A_{1}, A_{2}, \ldots, A_{2 n}\) nội tiếp đường tròn tâm (O) có n đường chéo qua tâm. Cứ hai đường chéo bất kỳ qua tâm sẽ tạo thành một hình chữ nhật, số hình chữ nhật là \(\mathrm{C}_{n}^{2}\) . Từ giả thiết ta có
\(\begin{aligned} & \mathrm{C}_{2 n}^{3}=20 \cdot \mathrm{C}_{n}^{2} \\ \Leftrightarrow & \frac{2 n(2 n-1)(2 n-2)}{6}=20 \cdot \frac{n(n-1)}{2} \\ \Leftrightarrow & n^{2}-9 n+8=0 \\ \Leftrightarrow &\left[\begin{array}{ll} n=1 & \text { (loại) } \\ n=8 & \text { (nhận }) \end{array}\right.\\ \Leftrightarrow & n=8 . \end{aligned}\)
