Cho đoạn thẳng AB có O là trung điểm và cho điểm M tùy ý. Tính \(\overrightarrow {MA} .\overrightarrow {MB} \)
Suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo saiVì O là trung điểm của AB nên OA = OB và \(\overrightarrow {OA} + \overrightarrow {OB} = \vec 0\)
Do hai vectơ \(\overrightarrow {OA} ;\overrightarrow {OB} \) ngược hướng nên \(\left( {\overrightarrow {OA} ,\overrightarrow {OB} } \right) = 180^\circ \)
Do đó:
\(\begin{array}{l} \overrightarrow {OA} .\overrightarrow {OB} = \left| {\overrightarrow {OA} } \right|.\left| {\overrightarrow {OB} } \right|.cos\left( {\overrightarrow {OA} ,\,\overrightarrow {OB} } \right)\\ = OA.OB.cos180^\circ = - OA.OA = - O{A^2} \end{array}\)
Với điểm M tùy ý ta có:
\(\begin{array}{l} \overrightarrow {MA} .\overrightarrow {MB} = \left( {\overrightarrow {MO} + \overrightarrow {OA} } \right).\left( {\overrightarrow {MO} + \overrightarrow {OB} } \right)\\ \begin{array}{*{20}{l}} { = {{\overrightarrow {MO} }^2} + \overrightarrow {MO} .\overrightarrow {OB} + \overrightarrow {OA} .\overrightarrow {MO} + \overrightarrow {OA} .\overrightarrow {OB} }\\ { = {{\left| {\overrightarrow {MO} } \right|}^2} + \left( {\overrightarrow {OA} + \overrightarrow {OB} } \right).\overrightarrow {MO} + \overrightarrow {OA} .\overrightarrow {OB} }\\ { = M{O^2} + \vec 0.\overrightarrow {MO} + \left( { - O{A^2}} \right) = M{O^2} - O{A^2}} \end{array} \end{array}\)
Vậy \(\overrightarrow {MA} .\overrightarrow {MB} = M{O^2} - O{A^2}\)