Cho hai hàm đa thức \(y = f\left( x \right), y = g\left( x \right)\) có đồ thị là hai đường cong ở hình vẽ. Biết rằng đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right)\) có đúng một điểm cực trị là A, đồ thị hàm số \(y = g\left( x \right)\) có đúng một điểm cực trị là B và \(AB = \frac{7}{4}\). Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m thuộc khoảng \(\left( { – 5;5} \right)\) để hàm số \(y = \left| {\left| {f\left( x \right) – g\left( x \right)} \right| + m} \right|\) có đúng 5 điểm cực trị?
.jpg.png)
Suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo sai.jpg.png)
Đặt \(h\left( x \right) = f\left( x \right) – g\left( x \right)\), ta có: \(h’\left( x \right) = f’\left( x \right) – g’\left( x \right); h’\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow x = {x_0}\);
\(h\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow x = {x_1}\) hoặc \(x = {x_2}\) (\({x_1} < {x_0} < {x_2}\));
\(h\left( {{x_0}} \right) = f\left( {{x_0}} \right) – g\left( {{x_0}} \right) = – \frac{7}{4}\).
Bảng biến thiên của hàm số \(y = h\left( x \right)\) là:
.png)
Suy ra bảng biến thiên của hàm số \(y = k\left( x \right) = \left| {f\left( x \right) – g\left( x \right)} \right|\) là:
.png)
Do đó, hàm số \(y = k\left( x \right) + m\) cũng có ba điểm cực trị.
Vì số điểm cực trị hàm số \(y = \left| {k\left( x \right) + m} \right|\) bằng tổng số điểm cực trị của hàm số \(y = k\left( x \right) + m\) và số nghiệm đơn và số nghiệm bội lẻ của phương trình \(k\left( x \right) + m = 0\), mà hàm số \(y = k\left( x \right) + m\) cũng có ba điểm cực trị nên hàm số \(y = \left| {\left| {f\left( x \right) – g\left( x \right)} \right| + m} \right|\) có đúng năm điểm cực trị khi phương trình \(k\left( x \right) + m = 0\) có đúng hai nghiệm đơn (hoặc bội lẻ).
Dựa vào bảng biến thiên của hàm số \(y = k\left( x \right)\), phương trình \(k\left( x \right) + m = 0\) có đúng hai nghiệm đơn (hoặc bội lẻ) khi và chỉ khi \( – m \ge \frac{7}{4} \Leftrightarrow m \le – \frac{7}{4}\).
Vì , \(m \le – \frac{7}{4}\) và \(m \in \left( { – 5;5} \right)\) nên \(m \in \left\{ { – 4; – 3; – 2} \right\}\)
