Cho hai số thực x y , thỏa mãn \(0 \leq x, y \leq 1\) trong đó x, y không đồng thời bằng 0 hoặc 1 và \(\log _{3}\left(\frac{x+y}{1-x y}\right)+(x+1)(y+1)-2=0\). Tìm giá trị nhỏ nhất của \(P=2 x+y \text { . }\)
Suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo sai\(\begin{aligned} &\text { Từ điều kiện đề bài và } \frac{x+y}{1-x y}>0 ; 1-x y \neq 0 \Rightarrow x+y>0 ; 1-x y>0 \text { . Khi đó }\\ &\log _{3}\left(\frac{x+y}{1-x y}\right)+(x+1) \cdot(y+1)-2=0 \Leftrightarrow \log _{3}(x+y)+(x+y)=\log _{3}(1-x y)+(1-x y) \end{aligned}\)
\(\begin{aligned} &\text { Xét hàm số } g(t)=\log _{3} t+t,(t>0) \text { có } g^{\prime}(t)=\frac{1}{t . \ln 3}+1>0, \forall t>0 \text { . }\\ &\text { Suy ra } g(t) \text { là hàm số đồng biến trên khoảng }(0 ;+\infty) \text { . } \end{aligned}\)
\(\begin{aligned} &\text { Vậy phương trình }(1) \Leftrightarrow x+y=1-x y \Rightarrow y=\frac{1-x}{1+x} \Rightarrow P=2 x+\frac{1-x}{1+x} \text { . }\\ &\text { Xét hàm số } f(x)=2 x+\frac{1-x}{x+1} \text { với } x \in[0 ; 1] . \text { Ta có } f^{\prime}(x)=2+\frac{-2}{(x+1)^{2}} \text { . } \end{aligned}\)
\(f^{\prime}(x)=0 \Rightarrow\left[\begin{array}{l} x=0 \\ x=-2 \end{array} \text { và } f(0)=1 ; f(1)=2 \Rightarrow \min _{[0 ; 1]} f(x)=1\right.\)
