Cho hàm số \(f\left( x \right)\) có đạo hàm liên tục thỏa mãn \(f\left( {\frac{\pi }{2}} \right) = 0, \int\limits_{\frac{\pi }{2}}^\pi {{{\left[ {f’\left( x \right)} \right]}^2}{\rm{d}}x} = \frac{\pi }{4}\) và \(\int\limits_{\frac{\pi }{2}}^\pi {\cos x\,f\left( x \right){\rm{d}}x} = \frac{\pi }{4}\). Tính \(f\left( {2018\pi } \right)\).
Suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo saiBằng công thức tích phân từng phần ta có:
\(\int\limits_{\frac{\pi }{2}}^\pi {\cos xf\left( x \right){\rm{d}}x} = \left. {\left[ {\sin xf\left( x \right)} \right]} \right|_{\frac{\pi }{2}}^\pi – \int\limits_{\frac{\pi }{2}}^\pi {\sin xf’\left( x \right){\rm{d}}x} \). Suy ra \(\int\limits_{\frac{\pi }{2}}^\pi {\sin xf’\left( x \right){\rm{d}}x} = – \frac{\pi }{4}\).
Hơn nữa ta tính được \(\int\limits_{\frac{\pi }{2}}^\pi {{{\sin }^2}x{\rm{d}}x} = \int\limits_{\frac{\pi }{2}}^\pi {\frac{{1 – \cos 2x}}{2}{\rm{d}}x} = \left. {\left[ {\frac{{2x – \sin 2x}}{4}} \right]} \right|_{\frac{\pi }{2}}^\pi = \frac{\pi }{4}\).
Do đó: \(\int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {{{\left[ {f’\left( x \right)} \right]}^2}{\rm{d}}x} + 2\int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {\sin xf’\left( x \right){\rm{d}}x} + \int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {{{\sin }^2}x{\rm{d}}x} = 0 \Leftrightarrow \int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {{{\left[ {f’\left( x \right) + \sin x} \right]}^2}{\rm{d}}x} = 0\).
Suy ra \(f’\left( x \right) = – \sin x\). Do đó \(f\left( x \right) = \cos x + C\). Vì \(f\left( {\frac{\pi }{2}} \right) = 0\) nên C = 0.
Ta được \(f\left( x \right) = \cos x \Rightarrow f\left( {2018\pi } \right) = \cos \left( {2018\pi } \right) = 1\).
