Cho hàm số \(f\left( x \right)\) xác định và liên tục trên \(\mathbb{R}\) đồng thời thỏa mãn \(\left\{ \begin{array}{l} f\left( x \right) > 0,{\kern 1pt} \;\forall x \in R\\ f'\left( x \right) = - {e^x}{f^2}\left( x \right),{\kern 1pt} \;\forall x \in R\\ f\left( 0 \right) = \frac{1}{2} \end{array} \right..\)
Tính giá trị của \(f\left( \ln 2 \right)\).
Suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo saiTa có \({f}'\left( x \right)=-{{e}^{x}}{{f}^{2}}\left( x \right)\)\(\Leftrightarrow \frac{{f}'\left( x \right)}{{{f}^{2}}\left( x \right)}=-{{e}^{x}}\) ( do \(f\left( x \right)>0\))
\(\Rightarrow \int{\frac{{f}'\left( x \right)}{{{f}^{2}}\left( x \right)}\text{d}x}=\int{-{{e}^{x}}\text{d}x\Rightarrow }\)\(-\frac{1}{f\left( x \right)}=-{{e}^{x}}+C\Rightarrow f\left( x \right)=\frac{1}{{{e}^{x}}-C}\).
Mà \(f\left( 0 \right)=\frac{1}{2}\Rightarrow \frac{1}{{{e}^{0}}-C}=\frac{1}{2}\Rightarrow C=-1\).
\(\Rightarrow f\left( x \right)=\frac{1}{{{e}^{x}}+1}\Rightarrow f\left( \ln 2 \right)=\frac{1}{{{e}^{\ln 2}}+1}=\frac{1}{3}\).
