Cho hàm số f(x) có đạo hàm và liên tục trên đoạn [4;8] và $f(0) \neq 0 \text { với } \forall x \in[4 ; 8]$. Biết rằng $\int_{4}^{8} \frac{\left[f^{\prime}(x)\right]^{2}}{[f(x)]^{4}} d x=1 \text { và } f(4)=\frac{1}{4}, f(8)=\frac{1}{2}$ . Tính $f(6)$

Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường $y=x^{2}+2, x=1, x=2, y=0$

Cho hàm số f (x) có đạo hàm liên tục trên đoạn [1;2] thỏa mãn $\int_{1}^{2}(x-1)^{2} f(x) \mathrm{d} x=-\frac{1}{3}, f(2)=0, \int_{1}^{2}\left[f^{\prime}(x)\right]^{2} \mathrm{~d} x=7 . \text { Tính } I=\int_{1}^{2} f(x) \mathrm{d} x$?

Giả sử $\int\limits_0^9 {f\left( x \right){\rm{d}}x} = 37$ và $\int\limits_9^0 {g\left( x \right){\rm{d}}x} = 16$. Khi đó, $I = \int\limits_0^9 {\left[ {2f\left( x \right) + 3g(x)} \right]{\rm{d}}x}$ bằng:

Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm f’(x) liên tục trên đoạn [1; 4], f(1) = 12 và $\mathop \smallint \nolimits_1^4 f'\left( x \right)dx\; = \;17$ . Giá trị của f(4) bằng

Cho hàm số $y=f(x)=\left\{\begin{array}{lll} 6 x^{2} & \text { khi } & x \leq 0 \\ a-a^{2} x & \text { khi } & x \geq 0 \end{array} \text { và } I=\int_{-1}^{4} f(x) \mathrm{d} x\right.$.  Hỏi có tất cả bao nhiêu số nguyên $I+22 \geq 0 ?$

Diện tích hình phẳng được giới hạn bởi đồ thị hàm số $y=\frac{x+1}{x+2}$, trục hoành và đường thẳng x = 2 là 

Thể tích khối tròn xoay sinh ra do quay hình phẳng giới hạn bởi các đường y = x³, trục Ox, x = −1, x = 1 một vòng quanh trục Ox là:

Tích phân $\int\limits_1^e {x\ln xdx}$ bằng

Cho hàm số f(x)>0 có đạo hàm liên tục trên $\left[0, \frac{\pi}{3}\right]$ , đồng thời thỏa mãn $f^{\prime}(0)=0 ; f(0)=1 \text { và } f^{\prime \prime}(x) \cdot f(x)+\left[\frac{f(x)}{\cos x}\right]^{2}=\left[f^{\prime}(x)\right]^{2}$. Tính $T=f\left(\frac{\pi}{3}\right)$

Cho hàm số y =f(x) có đạo hàm và liên tục trên $\left[0 ; \frac{\pi}{4}\right] \text { thỏa mãn } f\left(\frac{\pi}{4}\right)=3, \int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \frac{f(x)}{\cos x} \mathrm{~d} x=1$ và $\int_{0}^{\frac{\pi}{4}}[\sin x \cdot \tan x \cdot f(x)] \mathrm{d} x=2$ . Tích phân $\int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \sin x \cdot f^{\prime}(x) d x$ bằng: 

Tích phân $I=\int_{0}^{1}\left(\frac{a x}{x+1}-2 a x\right) d x$ có giá trị là

$\text { Cho tích phân } I=\int_{1}^{\mathrm{e}} \frac{3 \ln x+1}{x} \mathrm{~d} x . \text { Nếu đặt } t=\ln x \text { thì }$

Tính $\displaystyle  \int\limits_0^1 {\frac{{x + 2}}{{{x^2} + 2x + 1}}\ln (x + 1)dx}$

 Tích phân $I = \mathop \smallint \nolimits_0^{\frac{{\rm{\pi }}}{3}} x\cos xdx$ bằng:

Giả sử $I = \mathop \smallint \nolimits_{ - 1}^0 \frac{{3{x^2} + 5x - 1}}{{x - 2}}dx = a\ln \frac{2}{3} + b$. Khi đó giá trị a + 2b là

Cho $% MathType!MTEF!2!1!+- % feaahqart1ev3aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn % hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr % 4rNCHbGeaGqiVu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq-Jc9 % vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0-yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr-x % fr-xb9adbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaGaaGimaiabgY % da8iaadIhacqGH8aapdaWcaaqaaiabec8aWbqaaiaaikdaaaaaaa!3C3B! 0 < x < \frac{\pi }{2}$ và $% MathType!MTEF!2!1!+- % feaahqart1ev3aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn % hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr % 4rNCHbGeaGqiVu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq-Jc9 % vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0-yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr-x % fr-xb9adbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaWaa8qCaeaaca % WG4bGaciiDaiaacggacaGGUbGaamiEaiaabsgacaWG4bGaeyypa0da % leaacaaIWaaabaGaamyyaaqdcqGHRiI8aOGaamyBaaaa!42AD! \int\limits_0^a {x\tan x{\rm{d}}x = } m$. Tính $% MathType!MTEF!2!1!+- % feaahqart1ev3aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn % hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr % 4rNCHbGeaGqiVu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq-Jc9 % vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0-yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr-x % fr-xb9adbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaGaamysaiabg2 % da9maapehabaWaaeWaaeaadaWcaaqaaiaadIhaaeaaciGGJbGaai4B % aiaacohacaWG4baaaaGaayjkaiaawMcaamaaCaaaleqabaGaaGOmaa % aakiaabsgacaWG4baaleaacaaIWaaabaGaamyyaaqdcqGHRiI8aaaa % !450D! I = \int\limits_0^a {{{\left( {\frac{x}{{\cos x}}} \right)}^2}{\rm{d}}x}$ theo a và m

Tính $I=\int_{0}^{1}\left(\frac{1}{2 x+1}+3 \sqrt{x}\right) \mathrm{d} x$

 Cho hàm số f (x) có đạo hàm và đồng biến trên ℝ thỏa mãn $f(0)=1 \text { và }\left(f^{\prime}(x)\right)^{2}=e^{x} f(x), \forall x \in \mathbb{R}$ . Tính tích phân $\int_{0}^{1} f(x) d x$ bằng?

Cho hàm số f liên tục trên đoạn [0;6] . Nếu $\int_{1}^{5} f(x) d x=2 \text { và } \int_{1}^{3} f(x) d x=7 \text { thì } \int_{3}^{5} f(x) d x$ có giá trị bằng

Thể tích V của khối tròn xoay được sinh ra khi quay hình phẳng giới hạn bởi đường tròn$(C): x^{2}+(y-3)^{2}=1$ xung quanh trục hoành là