Cho hàm số f (x) liên tục trên \(\mathbb{R}\) và các tích phân \(\int_{0}^{\frac{\pi}{4}} f(\tan x) \mathrm{d} x=4 \text { và } \int_{0}^{1} \frac{x^{2} f(x)}{x^{2}+1} \mathrm{d} x=2\). Tính tích phân \(I=\int_{0}^{1} f(x) \mathrm{d} x\)
Suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo saiĐặt \(t=\tan x \Rightarrow \mathrm{d} t=\left(1+\tan ^{2} x\right) \mathrm{d} x \Rightarrow \frac{\mathrm{d} t}{1+t^{2}}=\mathrm{d} x\)
Đổi cận \(x=0 \Rightarrow t=0 \text { và } x=\frac{\pi}{4} \Rightarrow t=1\)
Khi đó:
\(\int_{0}^{\frac{\pi}{4}} f(\tan x) \mathrm{d} x=4 \Rightarrow \int_{0}^{1} \frac{f(t) \mathrm{d} t}{1+t^{2}}=4 \Rightarrow \int_{0}^{1} \frac{f(x) \mathrm{d} x}{1+x^{2}}=4\)
nên \(\int_{0}^{1} \frac{f(x) \mathrm{d} x}{1+x^{2}}+\int_{0}^{1} \frac{x^{2} f(x) \mathrm{d} x}{1+x^{2}}=4+2 \Leftrightarrow \int_{0}^{1} f(x) \mathrm{d} x=6\)
