Cho hàm số \(f(x)=\ln \left(\mathrm{e}^{x}+m\right)\). Có bao nhiêu số thực dương m để \(f^{\prime}(a)+f^{\prime}(b)=1\) với mọi số thực a , b thỏa \(a+b=1\)
Suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo sai\(\text { Với } m>0 \text { thì hàm số xác định trên } \mathbb{R} \text { . Ta có } f^{\prime}(x)=\frac{e^{x}}{e^{x}+m}\)
\(\begin{aligned} &\Rightarrow f^{\prime}(a)+f^{\prime}(b)=\frac{e^{a}}{e^{a}+m}+\frac{e^{b}}{e^{b}+m}=\frac{2 e^{a+b}+m\left(e^{a}+e^{b}\right)}{e^{a+b}+m\left(e^{a}+e^{b}\right)+m^{2}}=\frac{2 e+m\left(e^{a}+e^{b}\right)}{e+m\left(e^{a}+e^{b}\right)+m^{2}} \\ &\text { Mà } f^{\prime}(a)+f^{\prime}(b)=1 \Leftrightarrow \frac{2 e+m\left(e^{a}+e^{b}\right)}{e+m\left(e^{a}+e^{b}\right)+m^{2}}=1 \Leftrightarrow m^{2}=e \Leftrightarrow m=\sqrt{e} \text { . } \end{aligned}\)
Vậy có 1 giá trị m thoả mãn yêu cầu bài toán.
