Cho hàm số y=f(x) liên tục trên đoạn ( a;b )và \(f(x)>0, \forall x \in (a;b )\). Gọi D là hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y=f(x), trục hoành và 2 đường thẳng x=a, x=b ,(a<b). Thể tích của vật thể tròn xoay khi quay D quanh Ox được tính theo công thức:

Một vật chuyển động chậm dần đều với vận tốc \(v(t)=160-10 t(\mathrm{~m} / \mathrm{s})\) . Quãng đường vật đi được từ lúc t = 0 đến thời điểm mà vật dừng lại là

Cho hình phẳng \(A\) giới hạn bởi các đường \(y = 0, x = 4\), và \(y = \sqrt x  - 1\). Tính thể tích của khối tròn xoay tạo thành khi quay hình \(A\) quanh trục hoành.

Diện tích của hình phẳng được giới hạn bởi các đường \(\displaystyle  y = \tan x,y = 0,x =  - \frac{\pi }{4}\) và \(\displaystyle  x = \frac{\pi }{4}\) bằng

Một ô tô đang chạy với vận tốc 18 (m/s) thì người lái hãm phang. Sau khi hãm phanh ô tô chuyển động chậm dẫn đều với vận tốc \(v(t)=18-36 t(\mathrm{~m} / \mathrm{s})\) , trong đó t là khoảng thời gian được tính bằng giây kể từ lúc ô tô bắt đầu hãm phanh. Tính quãng đường ô tô đi được kể từ lúc hãm phang cho đến khi dừng hẳn. 

Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số \(y = 2{x^2}\) và \(y = {x^4} - 2{x^2}\) trong miền \(x \ge 0.\)

Một vật chuyển động với vận tốc \(v\left( t \right) = 1,2 + \frac{{{t^2} + 4}}{{t + 3}}\left( {m/s} \right).\) Quãng đường vật đi được sau 4s xấp xỉ bằng:

Cho hình phẳng B giới hạn bởi các đường \(x = \sqrt 5 {y^2},x = 0,y =  - 1\) và \(y = 1\). Tính thể tích của khối tròn xoay tạo thành khi quay hình B quanh trục tung.

Gọi h(t) (cm) là mức nước ở bồn chứa sau khi bơm nước được t giây. Biết rằng \(h'(t) = \frac{1}{5}\sqrt[3]{{t + 8}}dt\)  và lúc đầu bồn không có nước. Mức nước ở bồn sau khi bơm nước được 6 giây xấp xỉ bằng:

Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đồ thị hàm số \(y = x^3 - x;y = 2x \) và các đường thẳng x =  - 1; x = 1 được xác định bởi công thức:

Quay hình phẳng (H) như hình được tô đậm trong hình vẽ bên quanh trục Ox ta được khối tròn xoay
có thể tích là

Cho hình ( H ) giới hạn bởi đồ thị hàm số y = f( x ) , trục hoành và hai đường thẳng x = a,x = b. Thể tích khối tròn xoay tạo thành khi quay ( H ) quanh trục (Ox ) là:

Diện tích của hình phẳng giới hạn bởi các đường \(\displaystyle  {y_1} = {x^3};{y_2} = 4x\) bằng

Diện tích của hình phẳng giới hạn bởi các đường \( {y_1} = {x^3};{y_2} = 4x\) bằng

Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số \(y = {x^3} - 3{x^2} + 2x\), trục hoành, trục tung và đường thẳng \(x = 3\)

Quay hình phẳng \(\displaystyle  G\) giới hạn bởi các đường \(\displaystyle  y = {x^3},y = 1,x = 0\) xung quanh trục \(\displaystyle  Oy\). Khi đó thể tích của khối tròn xoay này bằng:

Một vật chuyển động với phương trình vận tốc là \(v(t)=t^{3}-9 t^{2}+24 t-16(\mathrm{~m} / \mathrm{s})\) . Hỏi từ lúc t = 0 đến khi vật có gia tốc nhỏ nhất thì vật đã đi được quãng đường bao nhiêu? 

Tính thể tích của vật thể nằm giữa hai mặt phẳng \(x = 0\) và \(x = \pi \), biết rằng thiết diện của vật thể bị cắt bởi mặt phẳng vuông góc với trục \(Ox\) tại điểm có hoành độ \(x\;(0 \le x \le \pi )\) là một tam giác đều cạnh  \(2\sqrt {{\mathop{\rm s}\nolimits} {\rm{inx}}} \).

Một vật bắt đầu chuyển động \(v(t)=2 t^{3}-15 t^{2}+24 t+20(\mathrm{~m} / \mathrm{s})\) . Hỏi trong 5 giây đầu tiên, quãng đường vật đi được cho đến khi đạt vận tốc lớn nhất là bao nhiêu? 

Trên mặt phẳng Oxy, cho hình phẳng ( H)  giới hạn bởi các đường \(y=3 x-x^{2}\) và trục hoành. Thể tích của khối tròn xoay khi quay (H ) quanh trục Ox bằng

Một chất điểm A xuất phát từ O, chuyển động thẳng với vận tốc biến thiên theo thời gian bởi quy luật \(v(t)=\frac{1}{150} t^{2}+\frac{59}{75} t(\mathrm{~m} / \mathrm{s})\) trong đó t (giây) là khoảng thời gian tính từ lúc A bắt đầu chuyển động. Từ trạng thái nghỉ, một chất điểm B cũng xuất phát từ O, chuyển động thẳng cùng hướng với A nhưng chậm hơn 3 giây so với A và có gia tốc bằng \(a\left(\mathrm{~m} / \mathrm{s}^{2}\right)\) (a là hằng số). Sau khi B xuất phát được 12 giây thì đuổi kịp A . Vận tốc của B tại thời điểm đuổi kip A bằng: