Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có thể tích bằng V với đáy là hình bình hành. Gọi C’ là trung điểm cạnh SC. Mặt phẳng qua AC’ và song song với BD cắt các cạnh SB,SD lần lượt tại B’; D’. Khi đó thể tích của khối chóp S.A’B’C’D’ bằng
Suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo saiPhân tích: Để giải quyết được bài toán này các em cần dựng được mặt phẳng đi qua AC’ và song song với BD sau đó tìm giao điểm của nó với các cạnh SB, SD
Để dựng được mặt phẳng đi qua AC’ và song song với BD ta làm như sau: Gọi O là giao điểm của AC và BD, gọi I là giao điểm của SO và AC’. Qua I kẻ B’D’ song song với BD, khi đó ta có mặt phẳng cần tìm là mặt phẳng (AD’C’B’).
Ta dễ dàng nhận thấy rằng I là trọng tâm của tam giác SAC nên \(\frac{SI}{SO}=\frac{2}{3}\)
Theo định lí Ta lét ta có \(\frac{SD'}{SD}=\frac{SI}{SO}=\frac{SB'}{SB}=\frac{2}{3}\)
Áp dụng công thức tính tỉ số thể tích của khối chóp tam giác (tứ diện) ta có:
\(\frac{{{V}_{SAD'C'}}}{{{V}_{SADC}}}=\frac{SA}{SA}.\frac{SD'}{SD}.\frac{SC'}{SC}=1.\frac{2}{3}.\frac{1}{2}=\frac{1}{3}\)
\(\frac{{{V}_{SAB'C'}}}{{{V}_{SABC}}}=\frac{SA}{SA}.\frac{SB'}{SB}.\frac{SC'}{SC}=1.\frac{2}{3}.\frac{1}{2}=\frac{1}{3}\)
Mà \({{V}_{SADC}}={{V}_{SABC}}=\frac{1}{2}{{V}_{SABCD}}\) nên \({{V}_{SAD'C'B'}}={{V}_{SAD'C'}}+{{V}_{SAB'C'}}=\frac{1}{2}.2.\frac{1}{2}{{V}_{SABCD}}=\frac{V}{3}\)
