Cho n là số tự nhiêm. Thu gọn \(\left(\mathrm{C}_{n}^{0}\right)^{2}+\left(\mathrm{C}_{n}^{1}\right)^{2}+\cdots+\left(\mathrm{C}_{n}^{n}\right)^{2}\) ta được
Suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo sai\(\begin{aligned} (1+x)^{2 n} &=(1+x)^{n}(1+x)^{n} \\ &=\left(\mathrm{C}_{n}^{0}+\mathrm{C}_{n}^{1} x+\mathrm{C}_{n}^{2} x^{2}+\cdots+\mathrm{C}_{n}^{n} x^{n}\right)\left(\mathrm{C}_{n}^{0}+\mathrm{C}_{n}^{1} x+\mathrm{C}_{n}^{2} x^{2}+\cdots+\mathrm{C}_{n}^{n} x^{n}\right) \\ &=\left(\mathrm{C}_{n}^{0}+\mathrm{C}_{n}^{1} x+\mathrm{C}_{n}^{2} x^{2}+\cdots+\mathrm{C}_{n}^{n} x^{n}\right)\left(\mathrm{C}_{n}^{0} x^{n}+\mathrm{C}_{n}^{1} x^{n-1}+\mathrm{C}_{n}^{2} x^{n-2}+\cdots+\mathrm{C}_{n}^{n}\right) \end{aligned}\)
\(\begin{array}{l} \Rightarrow \text { Hệ số của hạng tử chứa } x^{n} \text { trong khai triển của tích }(1+x)^{n}(1+x)^{n} \text { là }\left(\mathrm{C}_{n}^{0}\right)^{2}+\left(\mathrm{C}_{n}^{1}\right)^{2}+\cdots+\left(\mathrm{C}_{n}^{n}\right)^{2} \text { . }\\ \text { Mặt khác }(1+x)^{2 n}=\mathrm{C}_{2 n}^{0}+\mathrm{C}_{2 n}^{1} x+\cdots+\mathrm{C}_{2 n}^{n} x^{n}+\cdots+\mathrm{C}_{2 n}^{2 n} x^{2 n} \text { . } \end{array}\)
\(\Rightarrow \text { Hệ số của hạng tử chứa } x^{n} \text { trong khai triển của }(1+x)^{2 n} \text { là } \mathrm{C}_{2 n}^{n} \text { . }\)
\(\text { Mà hệ số của hạng tử chứa } x^{n} \text { trong tích }(1+x)^{n}(1+x)^{n} \text { cũng chính là hệ số của hạng tử chứa } x^{n} \text { trong khat }\)
\(\text { triển của }(1+x)^{2 n} \text { nên }\)
\(\left(\mathrm{C}_{n}^{0}\right)^{2}+\left(\mathrm{C}_{n}^{1}\right)^{2}+\cdots+\left(\mathrm{C}_{n}^{n}\right)^{2}=\mathrm{C}_{2 n}^{n}\)
