Cho số phức z1 thỏa mãn | z1 - 2|2 - | z1 + i |2 = 1 và số phức z2 thỏa mãn \(|z_2 - 4 - i | = \sqrt5\). Tìm giá trị nhỏ nhất của P = |z1 - z2|.
Suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo sai
Gọi z=x+yi(x;y∈R). Ta có
\( {\left| {z - 2} \right|^2} - {\left| {z + i} \right|^2} = 1 \to {\left( {x - 2} \right)^2} + {y^2} - {x^2} - {\left( {y + 1} \right)^2} = 1 \to 2x + y - 1 = 0\)
Suy ra tập hợp các số phức z1 là đường thẳng Δ:2x+y−1=0.
\( \left| {z - 4 - i} \right| = \sqrt 5 \to \left| {\left( {x - 4} \right) + \left( {y - 1} \right)i} \right| = \sqrt 5 \Leftrightarrow {\left( {x - 4} \right)^2} + {\left( {y - 1} \right)^2} = 5\)
Suy ra tập hợp các số phức z2 là đường tròn \( \left( C \right):{\left( {x - 4} \right)^2} + {\left( {y - 1} \right)^2} = 5\) có tâm I(4;1) và bán kính R=√5
Khi đó biểu thức \( P=|z_1−z_2|\) là khoảng cách từ một điểm thuộc Δ đến một điểm thuộc (C)
Từ đó suy ra \( {P_{\min }} = MN = \left| {d\left[ {I,{\rm{\Delta }}} \right] - R} \right| = \left| {\frac{8}{{\sqrt 5 }} - \sqrt 5 } \right| = \frac{{3\sqrt 5 }}{5}.\)
Câu hỏi liên quan
-
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , tìm tập hợp điểm M biểu diễn số phức \(\omega\) thỏa mãn điều kiện \(\omega=(1-2 i) z+3\) , biết z là số phức thỏa mãn \(|z+2|=5\)
-
Có bao nhiêu số phức z thỏa mãn \(\left| z \right| = \sqrt 2 \) và z2 là số thuần ảo ?
-
Phần ảo của số phức \(z = {\left( {1 + \sqrt i } \right)^3}\) là
-
Cho số phức z thỏa mãn điều kiện \(% MathType!MTEF!2!1!+- % feaahqart1ev3aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn % hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr % 4rNCHbGeaGqiVu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq-Jc9 % vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0-yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr-x % fr-xb9adbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaGaamOEaiabgU % caRmaabmaabaGaamyAaiabgkHiTiaaikdaaiaawIcacaGLPaaacaWG % 6bGaeyypa0JaaGOmaiabgUcaRiaaiodacaWGPbaaaa!4143! z + \left( {i - 2} \right)z = 2 + 3i\). Điểm M là điểm biểu diễn số phức z trên mặt phẳng tọa độ Oxy. Tọa độ của điểm M là
-
Trong mặt phẳng tọa độ, tập hợp các điểm biểu diễn số phức z thỏa mãn điều kiện \((2-z)(\bar{z}+i)\) là số thuần ảo là:
-
Giả sử A , B theo thứ tự là điểm biểu diễn của các số phức \(z_1 ; z_2\) . Khi đó độ dài của véctơ\(\overrightarrow {A B}\) bằng:
-
Tính môđun của số phức z thỏa \(\frac{(1+2 i) z}{3-i}=\frac{1}{2}(1+i)^{2}\)
-
Gọi z0 là nghiệm phức có phần ảo âm của phương trình \(2 z^{2}-6 z+5=0 . \text { Tìm } i z_{0} ?\)
-
Tính mô đun của số phức \(z=\frac{5-10 i}{1+2 i}\)
-
Cho số phức z thỏa mãn điều kiện \((1+i)(2+i) z+1-i=(5-i)(1+i)\). Tính môđun của số phức
\(w=1+2 z+z^{2}\) -
Cho tam giác ABC có ba đỉnh A , B , C lần lượt là điểm biểu diễn hình học của các số phức \(z_{1}=2-i, z_{2}=-1+6 i, z_{3}=8+i\) . Số phức z4 có điểm biểu diễn hình học là trọng tâm của tam giác ABC . Mệnh đề nào sau đây là đúng
-
Cho số phức z thỏa mãn điều kiện \((2-i) z=(4+i) z+3-2\) . Số phức liên hợp của z là
-
Cho số phức z thỏa z = 1+ i+ i2+ i3+...+ i2016. Khi đó phần thực và phần ảo của z lần lượt là
-
Cho hai số phức z1 = 3 + i; z2 = 2 - i. Tính P = | z1 + z1 z2|.
-
Biết phương trình \(z^{2}+a z+b=0,(a, b \in \mathbb{R})\) có một nghiệm là \(z=1-i\) . Tính môđun của số phức \(w=a+b i\)
-
Tìm tổng phần thực và phần ảo của số phức z thỏa mãn \(z + 2\overline z = {\left( {2 - i} \right)^2}\left( {1 - i} \right)\)
-
Tìm mô đun của số phức z thoả \(3 i z+(3-i)(1+i)=2\)
-
Cho hai số phức \(z_1 = 1- 3i,\,z_2 = -2 - 5i\) .Tìm phần ảo b của số phức \(z = z_1 - z_2\)
-
Cho số phức \(z=a+b i,(a, b \in \mathbb{R})\) . Tính môđun của số phức z
-
Cho số phức z có điểm biểu diễn là M . Biết rằng số phức \(w=\frac{1}{z}\) được biểu diễn bởi một trong bốn điểm P , Q , R , S như hình vẽ bên. Hỏi điểm biểu diễn của w là điểm nào?
