Cho \({(a - b)^2} + {(b - c)^2} + {(c - a)^2} = {(a + b - 2c)^2} + {(b + c - 2a)^2} + {(c + a - 2b)^2}\). Khẳng định nào sau đây đúng?
Suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo sai\(\begin{array}{l} {(a - b)^2} + {(b - c)^2} + {(c - a)^2} = {(a + b - 2c)^2} + {(b + c - 2a)^2} + {(c + a - 2b)^2}\\ {(a + b - 2c)^2} - {(a - b)^2} + {(b + c - 2a)^2} - {(b - c)^2} + {(c + a - 2b)^2} - {(c - a)^2} = 0(*) \end{array}\)
Áp dụng hằng đẳng thức ta có:
\(\begin{aligned} &(a+b-2 c)^{2}-(a-b)^{2}=(2 a-2 c)(2 b-2 c)=4(a-c)(b-c) \\ &(b+c-2 a)^{2}-(b-c)^{2}=(2 b-2 a)(2 c-2 a)=4(b-a)(c-a) \\ &(c+a-2 b)^{2}-(c-a)^{2}=(2 c-2 b)(2 a-2 b)=4(c-b)(a-b) \end{aligned}\)
Kết hợp với (*) ta có:
\(\begin{aligned} &4(a-c)(b-c)+4(b-a)(c-a)+4(c-b)(a-b)=0 \\ &\Leftrightarrow(a-c)(b-c)+(b-a)(c-a)+(c-b)(a-b)=0 \\ &\Leftrightarrow a b-a c-b c+c^{2}+b c-b a-a c+a^{2}+a c-b c-a b+b^{2}=0 \\ &\Leftrightarrow a^{2}+b^{2}+c^{2}-a b-b c-a c=0 \\ &\Leftrightarrow 2 a^{2}+2 b^{2}+2 c^{2}-2 a b-2 b c-2 a c=0 \\ &\Leftrightarrow a^{2}-2 a b+b^{2}+b^{2}-2 b c+c^{2}+c^{2}-2 c a+a^{2}=0 \\ &\Leftrightarrow(a-b)^{2}+(b-c)^{2}+(c-a)^{2}=0 \\ &\left\{\begin{array}{l} a-b=0 \\ b-c=0 \Leftrightarrow a=b=c \\ c-a=0 \end{array}\right. \end{aligned}\)
