Cho tam giác ABC có \(\frac{a^{2} \cos \frac{B-C}{2}}{2 \sin \frac{A}{2}}+\frac{b^{2} \cos \frac{C-A}{2}}{2 \sin \frac{B}{2}}+\frac{c^{2} \cos \frac{A-B}{2}}{2 \sin \frac{C}{2}}=a^{2}+b^{2}+c^{2}\). Tam giác ABC là tam giác gì?
Suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo saiTa có
\(\begin{aligned} a^{2} \cos \frac{B-C}{2} &=\frac{a(2 R \sin A) \cos \frac{B-C}{2}}{2 \sin \frac{A}{2}} \\ &=2 a R \cos \frac{A}{2} \cos \frac{B-C}{2} \\ &=2 a R \sin \frac{B+C}{2} \cos \frac{B-C}{2} \\ &=a R(\sin B+\sin C)=\frac{a(b+c)}{2} \end{aligned}\)
Tương tự ta có
\(\begin{aligned} \frac{a^{2} \cos \frac{B-C}{2}}{2 \sin \frac{A}{2}}+\frac{b^{2} \cos \frac{C-A}{2}}{2 \sin \frac{B}{2}}+\frac{c^{2} \cos \frac{A-B}{2}}{2 \sin \frac{C}{2}} &=\frac{a(b+c)}{2}+\frac{b(c+a)}{2}+\frac{c(a+b)}{2}=a b+b c+c a \\ & \leq \frac{a^{2}+b^{2}}{2}+\frac{b^{2}+c^{2}}{2}+\frac{c^{2}+a^{2}}{2}=a^{2}+b^{2}+c^{2} \end{aligned}\)
\(\text { Dấu "=" xảy ra khi } a=b=c \Leftrightarrow \triangle A B C \text { đều. }\)
