Có tất cả bao nhiêu số phức z thỏa mãn \(\left| z \right| = \sqrt 5 \) và \(\left| {\frac{z}{{\overline z }} + \frac{{\overline z }}{z}} \right| = \frac{6}{5}\)?
Suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo saiGọi \(z = a + bi,\left( {a,b \in \mathbb{R}} \right) \Rightarrow \overline z = a – bi\)
Theo giả thiết: \(\left| z \right| = \sqrt 5 \Leftrightarrow {a^2} + {b^2} = 5\) (1).
Mặt khác \(\left| {\frac{z}{{\overline z }} + \frac{{\overline z }}{z}} \right| = \frac{6}{5} \Leftrightarrow \left| {\frac{{{z^2} + {{\left( {\overline z } \right)}^2}}}{{z.\overline z }}} \right| = \frac{6}{5}\)
\( \Leftrightarrow \left| {\frac{{{{\left( {a + bi} \right)}^2} + {{\left( {a – bi} \right)}^2}}}{{{a^2} + {b^2}}}} \right| = \frac{6}{5}\)
\( \Leftrightarrow \left| {2{a^2} – 2{b^2}} \right| = 6\)
\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{a^2} – {b^2} = 3,(2)\\{a^2} – {b^2} = – 3,(3)\end{array} \right.\)
Từ (1) và (2) ta có: \(\left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}{a^2} = 4\\{b^2} = 1\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}{a^2} = 1\\{b^2} = 4\end{array} \right.\end{array} \right.\)
\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}a = \pm 2\\b = \pm 1\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}a = \pm 1\\b = \pm 2\end{array} \right.\end{array} \right.\)
Vậy có tất cả 8 số phức thỏa đề.
