Đặt \(f( n ) = (n^2 + n + 1)^2 + 1.\) Xét dãy số (un ) sao cho \( {u_n} = \frac{{f(1).f(3).f(5)...f(2n - 1)}}{{f(2).f(4).f(6)...f(2n)}}\). ) Tính\( \lim n\sqrt {{u_n}} \)
Suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo saiXét
\(\begin{array}{l} g\left( n \right) = \frac{{f\left( {2n - 1} \right)}}{{f\left( {2n} \right)}} \Rightarrow g\left( n \right) = \frac{{{{\left( {4{n^2} - 2n + 1} \right)}^2} + 1}}{{{{\left( {4{n^2} + 2n + 1} \right)}^2} + 1}}\\ g\left( n \right) = \frac{{{{\left( {4{n^2} + 1} \right)}^2} - 4n\left( {4{n^2} + 1} \right) + \left( {4{n^2} + 1} \right)}}{{{{\left( {4{n^2} + 1} \right)}^2} + 4n\left( {4{n^2} + 1} \right) + \left( {4{n^2} + 1} \right)}} = \frac{{4{n^2} + 1 - 4n + 1}}{{4{n^2} + 1 + 4n + 1}} = \frac{{{{\left( {2n - 1} \right)}^2} + 1}}{{{{\left( {2n + 1} \right)}^2} + 1}}\\ \Rightarrow {u_n} = \frac{2}{{10}}.\frac{{10}}{{26}}.\frac{{26}}{{50}}....\frac{{{{\left( {2n - 3} \right)}^2} + 1}}{{{{\left( {2n - 1} \right)}^2} + 1}}.\frac{{{{\left( {2n - 1} \right)}^2} + 1}}{{{{\left( {2n + 1} \right)}^2} + 1}} = \frac{2}{{{{\left( {2n + 1} \right)}^2} + 1}}\\ \Rightarrow \lim n\sqrt {{u_n}} = \lim \sqrt {\frac{{2{n^2}}}{{4{n^2} + 4n + 2}}} = \frac{1}{{\sqrt 2 }}. \end{array}\)
