Giải hệ phương trình \(\left\{\begin{array}{l} \mathrm{C}_{x}^{x-1}-\mathrm{A}_{y}^{y-1}=\frac{1}{\mathrm{C}_{x}^{x-1}}-\frac{1}{\mathrm{~A}_{y}^{y-1}} \\ x^{3}=\frac{4}{(x-1)^{2}} \cdot\left(\mathrm{C}_{x}^{x-2}\right)^{2}+\frac{6 \mathrm{C}_{y}^{y-3}}{(y-2)(y-1)}+\frac{1}{3} \end{array}\right.\)
Suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo sai\(\text { Điều kiện }\left\{\begin{array}{l} x \geq 2 \\ y \geq 3 \\ x, y \in \mathbb{N} \end{array}\right.\)
Ta có
\(\begin{array}{c} \mathrm{C}_{x}^{x-1}=\frac{x !}{(x-1) !}=x, \quad \mathrm{~A}_{y}^{y-1}=\frac{y !}{(y-1) !}=y \\ \mathrm{C}_{x}^{x-2}=\frac{x !}{2 !(x-2) !}=\frac{x(x-1)}{2}, \quad \mathrm{C}_{y}^{y-3}=\frac{y !}{3 !(y-3) !}=\frac{y(y-1)(y-2)}{6} . \end{array}\)
Hệ đã cho trở thành
\(\left\{\begin{array} { l } { x - y = \frac { 1 } { x } - \frac { 1 } { y } } \\ { x ^ { 3 } = \frac { 4 ( x - 1 ) ^ { 2 } x ^ { 2 } } { 4 ( x - 1 ) ^ { 2 } } + 6 \cdot \frac { y ( y - 1 ) ( y - 2 ) } { 6 ( y - 1 ) ( y - 2 ) } + \frac { 1 } { 3 } } \end{array} \Leftrightarrow \left\{\begin{array}{l} x-\frac{1}{x}=y-\frac{1}{y} \\ x^{3}=x^{2}+y+\frac{1}{3} . \end{array}\right.\right.\)
\(\text { Xét hàm } f(t)=t-\frac{1}{t} \text { với } t>1, \text { ta có } f^{\prime}(t)=1+\frac{1}{t^{2}}>0 \text { với mọi } t>1, \text { do đó } f(t) \text { tăng trên miền }(1 ;+\infty) \text { . }\)
\(\text { Suy ra } x-\frac{1}{x}=y-\frac{1}{y} \Leftrightarrow f(x)=f(y) \Leftrightarrow x=y \text { . Thay vào phương trình còn lại ta được }\)
\(x^{3}=x^{2}+x+\frac{1}{3} \Leftrightarrow 3 x^{3}=3 x^{2}+3 x+1 \Leftrightarrow 4 x^{3}=(x+1)^{3} \Leftrightarrow \sqrt[3]{4} x=x+1 \Leftrightarrow x=\frac{1}{\sqrt[3]{4}-1} \text { (loại). }\)
Vậy hệ đã cho vô nghiệm.
