Gọi \(x_1. x_2\), là hai nghiệm của phương trình \(x^{2}-m x+m-1=0\) ( m là tham số). Tìm m để biểu thức \(P=\frac{2 x_{1} x_{2}+3}{x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+2\left(x_{1} x_{2}+1\right)}\) đạt giá trị lớn nhất.
Suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo sai\(\Delta=m^{2}-4(m-1)=(m-2)^{2} \geq 0\forall m\in \mathbb{R}\)
Do đó phương trình luôn có nghiệm với mọi giá trị của m .
Theo hệ thức Viet, ta có \(\left\{\begin{array}{l} x_{1}+x_{2}=m \\ x_{1} x_{2}=m-1 \end{array}\right.\)
Suy ra \(x_{1}^{2}+x_{2}^{2}=\left(x_{1}+x_{2}\right)^{2}-2 x_{1} x_{2}=m^{2}-2(m-1)=m^{2}-2 m+2\)
Khi đó \(P=\frac{2 x_{1} x_{2}+3}{x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+2\left(x_{1} x_{2}+1\right)}=\frac{2 m+1}{m^{2}+2}\)
\(\Rightarrow P-1=\frac{2 m+1}{m^{2}+2}-1=\frac{2 m+1-m^{2}-2}{m^{2}+2}=-\frac{(m-1)^{2}}{m^{2}+2} \leq 0, \forall m \in \mathbb{R}\)
\(\Rightarrow P \leq 1, \forall m \in \mathbb{R}\). Dấu '' =" xảy ra khi và chỉ khi m =1.