Gọi x1 là nghiệm của phương trình \({\log _2}\left( {1 + \sqrt x } \right) = {\log _3}x\). Tính giá trị biểu thức \(A = {x_1}^2 + 2{x_1}\)
Suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo saiĐiều kiện: x > 0
\({\log _2}\left( {1 + \sqrt x } \right) = {\log _3}x \Leftrightarrow 1 + \sqrt x = {2^{{{\log }_3}x}}{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} \left( 1 \right)\)
Đặt \({\log _3}x = t \Leftrightarrow x = {3^t} \Rightarrow \sqrt x = {\left( {\sqrt 3 } \right)^t}\)
\(\begin{array}{*{20}{l}} {\left( 1 \right) \Leftrightarrow 1 + {{\left( {\sqrt 3 } \right)}^t} = {2^t}}\\ { \Leftrightarrow {{\left( {\frac{1}{2}} \right)}^t} + {{\left( {\frac{{\sqrt 3 }}{2}} \right)}^t} = 1{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} \left( 2 \right)} \end{array}\)
Vế trái xét \(f\left( t \right) = {\left( {\frac{1}{2}} \right)^t} + {\left( {\frac{{\sqrt 3 }}{2}} \right)^t}\)là hàm nghịch biến nên phương trình (2) có nghiệm duy nhất và ta thấy t = 2 là nghiệm. Vậy \({\log _3}x = 2 \Rightarrow x = 9.\)
Vậy x1 = 9. Ta có \(A = {x_1}^2 + 2{x_1} = {9^2} + 2.9 = 99\)
