Khi cắt mặt cầu \(S\left( O,\text{ }R \right)\) bởi một mặt kính, ta được hai nửa mặt cầu và hình tròn lớn của mặt kính đó gọi là mặt đáy của mỗi nửa mặt cầu. Một hình trụ gọi là nội tiếp nửa mặt cầu \(S\left( O,\text{ }R \right)\) nếu một đáy của hình trụ nằm trong đáy của nửa mặt cầu, còn đường tròn đáy kia là giao tuyến của hình trụ với nửa mặt cầu. Biết \(R=1\), tính bán kính đáy \(r\) và chiều cao \(h\) của hình trụ nội tiếp nửa mặt cầu \(S\left( O,\text{ }R \right)\) để khối trụ có thể tích lớn nhất.
Suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo sai.png)
Hình trụ nội tiếp nửa mặt cầu, nên theo giả thiết đường tròn đáy trên có tâm O' có hình chiếu của O xuống mặt đáy (O'). Suy ra hình trụ và nửa mặt cầu cùng chung trục đối xứng và tâm của đáy dưới hình trụ trùng với tâm O của nửa mặt cầu.Ta có: \({{h}^{2}}+{{r}^{2}}={{R}^{2}}\) \(\left( 0<h\le R=1 \right)\)\(\Rightarrow {{r}^{2}}=1-{{h}^{2}}\)
Thể tích khối trụ là: \(V=\pi {{r}^{2}}h=\pi (1-{{h}^{2}})h=f(h)\) \(\Rightarrow f'(h)=\pi (1-3{{h}^{2}})=0\Leftrightarrow h=\frac{\sqrt{3}}{3}\)
.png)
Vậy: \(\underset{\left( 0\,;\,1 \right]}{\mathop{Max}}\,V=\frac{2\pi \sqrt{3}}{9}\) (đvtt) khi \(r=\frac{\sqrt{6}}{3}\) và \(h=\frac{\sqrt{3}}{3}\)
