Một hình trụ có thể tích V không đổi. Tính mối quan hệ giữa bán kính đáy và chiều cao hình trụ sao cho diện tích toàn phần đạt giá trị nhỏ nhất.
Suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo sai.PNG)
Gọi R và \(h\) là bán kính đáy và chiều cao hình trụ.
Ta có: \(V=\pi {{R}^{2}}h\) (không đổi)
\({{S}_{tp}}={{S}_{xq}}=2{{S}_{\text{day}}}=2\pi Rh+2\pi {{R}^{2}}=\left( Rh+{{R}^{2}} \right)2\pi \)
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho 3 số dương,
Ta có: \(\frac{Rh}{2}+\frac{Rh}{2}+{{R}^{2}}\ge 3\sqrt[3]{\frac{Rh}{2}.\frac{Rh}{2}.{{R}^{2}}}\)
\(\Leftrightarrow Rh+{{R}^{2}}\ge 3\sqrt[3]{\frac{{{R}^{4}}{{h}^{2}}}{4}}=3\sqrt[3]{\frac{{{V}^{2}}}{{{\pi }^{2}}4}}\)
\(\Leftrightarrow {{S}_{tp}}\ge 3\left( 2\pi \right)\sqrt[3]{\frac{{{V}^{2}}}{{{\pi }^{2}}4}}\)(hằng số)
Do đó: S toàn phần đạt giá trị nhỏ nhất\(\Leftrightarrow \frac{Rh}{2}={{R}^{2}}\Leftrightarrow R=\frac{h}{2}.\)
Câu hỏi liên quan
-
Hình đa diện trong hình vẽ bên có bao nhiêu cạnh:
-
Một hình lập phương có cạnh 4cm. Người ta sơn đỏ mặt ngoài của hình lập phương rồi cắt hình lập phương bằng các mặt phẳng song song với các mặt của hình lập phương thành 64 hình lập phương nhỏ có cạnh 1cm. Có bao nhiêu hình lập phương có đúng một mặt được sơn đỏ?
-
Một hình lăng trụ có 2018 mặt, hỏi hình lăng trụ đó có tất cả bao nhiêu cạnh?
-
Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng?
-
Khối mười hai mặt đều có bao nhiêu đỉnh?
-
Cho hình chóp (S.ABCD ) có đáy là hình vuông, SA vuông góc với đáy. Hình chóp có bao nhiêu mặt bên là tam giác vuông?
-
Trong các mệnh đề sau đây, mệnh đề nào sai?
-
Có thể chia một khối lập phương thành bao nhiêu khối tứ diện có thể tích bằng nhau mà các đỉnh của tứ diện cũng là đỉnh của hình lập phương?
-
Trong hình bát diện đều số cạnh gấp mấy lần số đỉnh.
-
Hình nào dưới đây không phải là hình đa diện?
-
Một hình chóp ngũ giác đều có bao nhiêu mặt và bao nhiêu cạnh?
-
Khối đa diện đều nào thuộc loại {5; 3}?
-
Hình hộp chữ nhật có ba kích thước đôi một khác nhau có bao nhiêu mặt phẳng đối xứng?
-
Số cạnh của một hình lập phương là
-
Cho khối đa diện mà mỗi đỉnh là đỉnh chung của 3 cạnh. Kí hiệu D à số đỉnh, C là số cạnh. Chọn mệnh đề đúng:
-
Vật thể nào trong các vật thể sau không phải là khối đa diện.
-
Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng?
-
Hình nào dưới đây không phải là hình đa diện?
-
Một hình lập phương có cạnh 4cm. Người ta sơn đỏ mặt ngoài của hình lập phương rồi cắt hình lập phương bằng các mặt phẳng song song với các mặt của hình lập phương thành 64 hình lập phương nhỏ có cạnh 1cm. Có bao nhiêu hình lập phương có đúng một mặt được sơn đỏ?
-
Trong tất cả các loại hình đa diện đều sau đây, hình nào có số mặt nhiều nhất?
