Quay hình phẳng Q giới hạn bởi các đường \( {y_2} = \frac{{2x}}{\pi };{y_1} = \sin x\) quanh trục Ox, ta được một khối tròn xoay. Khi đó thể tích của khối tròn xoay này bằng
Suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo saiTa có: \(\sin x = \frac{{2x}}{\pi } \to \left[ \begin{array}{l} x = 0\\ x = \frac{\pi }{2}\\ x = - \frac{\pi }{2} \end{array} \right.\)
Khi đó
\( V = \pi \mathop \smallint \limits_{ - \frac{\pi }{2}}^{\frac{\pi }{2}} \left| {{{\sin }^2}x - {{\left( {\frac{{2x}}{\pi }} \right)}^2}} \right|dx\)
Dễ thấy \( f\left( x \right) = \left| {{{\sin }^2}x - {{\left( {\frac{{2x}}{\pi }} \right)}^2}} \right|\) là hàm số chẵn nên:
\(\begin{array}{l} V = 2\pi \mathop \smallint \limits_0^{\frac{\pi }{2}} \left| {{{\sin }^2}x - {{\left( {\frac{{2x}}{\pi }} \right)}^2}} \right|dx = 2\pi \mathop \smallint \limits_0^{\frac{\pi }{2}} \left( {{{\sin }^2}x - {{\left( {\frac{{2x}}{\pi }} \right)}^2}} \right)dx\\ = 2\pi \mathop \smallint \limits_0^{\frac{\pi }{2}} {\sin ^2}xdx - \frac{8}{\pi }\mathop \smallint \limits_0^{\frac{\pi }{2}} {x^2}dx\\ = \pi \mathop \smallint \limits_0^{\frac{\pi }{2}} \left( {1 - \cos 2x} \right)dx - \frac{8}{\pi }\mathop \smallint \limits_0^{\frac{\pi }{2}} {x^2}dx = \pi \left( {\frac{\pi }{2} - 0} \right) - \frac{8}{\pi }.\frac{1}{3}.{\left( {\frac{\pi }{2}} \right)^3} = \frac{{{\pi ^2}}}{2} - \frac{{{\pi ^2}}}{3} = \frac{{{\pi ^2}}}{6} \end{array}\)
Câu hỏi liên quan
-
Tại một noiw không có gió, một chiếc khí cầu đang đứng yên ở độ cao 162 (mét) so với mặt đất đã được phi công cài đặt cho nó chế độ chuyển động đi xuống. Biết rằng, khí cầu đã chuyển động theo phương thẳng đứng với vận tốc tuân theo quy luật \(v(t)=10 t-t^{2}\), trong đó t ( phút) là thời gian tính từ lúc bắt đầu chuyển động, v(t) được tính theo đơn vị mét/phút (m/p). Nếu như vậy thì bắt đầu tiếp đất vận tốc v của khí cầu là?
-
Cho hình phẳng (H) giới hạn bởi đồ thị hàm số \(y=\frac{1}{x}\), trục Ox và hai đường thẳng \(x=1, x=2\). Khối tròn xoay tạo thành khi quay hình phẳng (H) quanh trục Ox có thể tích là
-
Thể tích khối tròn xoay tạo bởi phép quay quanh trục \(\displaystyle Ox\) của hình phẳng giới hạn bởi các đường \(\displaystyle y = {\sin ^{\frac{3}{2}}}x,y = 0,x = 0\) và \(\displaystyle x = \frac{\pi }{2}\) bằng
-
Công thức tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số \(y = f( x)\), đường thẳng (y = 0 ) và hai đường thẳng \(x = a,x = b(a < b)\) là:
-
Diện tích hình phẳng \(\displaystyle P\) giới hạn bởi các đường \(\displaystyle {y_1} = x,{y_2} = 2x,{y_3} = 2 - x\) bằng:
-
Sau chiến tranh thế giới thứ hai, tốc độ sinh ở cả nước phương Tây tăng rất nhanh. Giả sử rằng tốc độ sinh được cho bởi: b(t) = 5 + 2t, 0 ≤ t ≤ 10 , ( ở đó t số năm tính từ khi chiến tranh kết thúc, b(t) tính theo đơn vị triệu người). Tìm khoảng thời gian T sao cho số lượng trẻ được sinh ra là 14 triệu kể từ khi kết thức chiến tranh.
-
Cho hình phẳng giới hạn (H) như hình vẽ bên. Thể tích khối tròn xoay sinh ra khi quay hình phẳng (H) quanh trục Oy là
-
Cho hàm số \(y=(x-2)^{2}\) có đồ thị (C) , khối tròn xoay tạo thành khi quay hình phẳng giới
hạn bởi (C) , trục Ox , trục Oy và đường thẳng x = 3 có thể tích là -
Nam và Hùng tập sút phạt, ai sút trúng gôn nhiều hơn là người thẳng cuộc. Nếu để bóng ở vị trí A thì xác suất trúng vào gôn của Nam là 0,9 còn của Hùng là 0,7. Nếu để bóng ở vị trí B thì xác suất trúng vào gôn của Nam là 0,7 còn của Hùng là 0,8. Nam và Hùng đều đá một quả ở vị trí A và một quả ở vị trí B. Xác suất để Nam thắng cuộc là:
-
Thể tích của khối tròn xoay tạo nên do quay quanh trục \(\displaystyle Ox\) hình phẳng giới hạn bởi các đường \(\displaystyle y = {\left( {1 - x} \right)^2},y = 0\), \(\displaystyle x = 0\) và \(\displaystyle x = 2\) bằng
-
Cho hình H giới hạn bởi đường cong y2 + x = 0, trục Oy và hai đường thẳng y = 0,y = 1. Thể tích khối tròn xoay tạo thành khi quay H quanh trục Oy )được tính bởi:
-
Cho hình phẳng \(\displaystyle R\) giới hạn bởi các đường sau đây: \(\displaystyle {y_1} = {f_1}\left( x \right).{y_2} = {f_2}\left( x \right)\) (\(\displaystyle {f_1},{f_2}\) là các hàm số liên tục trên đoạn \(\displaystyle \left[ {a;b} \right]\)), \(\displaystyle x = a\) và \(\displaystyle x = b\). Hãy chỉ ra công thức sai trong việc tính diện tích hình \(\displaystyle R\).
-
Diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi các đường y = 2x, x = - 3, x = - 2. và trục hoành được tính bằng công thức nào dưới đây?
-
Sân trường THPT Chuyên Hà Giang có một bồn hoa hình tròn có tâm O. Một nhóm học sinh lớp 12 được giao thiết kế bồn hoa, nhóm này chia bồn hoa thành bốn phần, bởi hai đường Parabol có cùng đỉnh O và đối xứng nhau qua O. Hai đường Parabol này cắt đường tròn tại bốn điểm A, B, C, D tạo thành một hình vuông có cạnh bằng 4m (như hình vẽ). Phần diện tích (S1,S3 ) dùng để trồng hoa, phần diện tích (S2,S4 ) dùng để trồng cỏ (Diện tích được làm tròn đến hàng phần trăm). Biết kinh phí trồng hoa là (150.000 ) đồng/ (m2 ), kinh phí trồng cỏ là (100.000 ) đồng/ (m2 ). Hỏi cả trường cần bao nhiêu tiền để trồng bồn hoa đó? (Số tiền làm tròn đến hàng chục nghìn).
-
Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số \(y = {x^3} - 3{x^2} + 2x\), trục hoành, trục tung và đường thẳng \(x = 3\)
-
Cho hình phẳng B giới hạn bởi các đường \(x = \sqrt 5 {y^2},x = 0,y = - 1\) và \(y = 1\). Tính thể tích của khối tròn xoay tạo thành khi quay hình B quanh trục tung.
-
Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường \(y=x^{2}-4 x+1, y=m,(m \leq-3), x=0, x=3\) là:
-
Hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số \(y=x^{3}-2 x\) và đường thẳng \(2 x-y=0\) có diện tích là
-
Cá hồi Thái Bình Dương đến mùa sinh sản chúng thường bơi từ biển đến thượng nguồn con sông để đẻ trứng trên sỏi đá rồi chết. Khi nghiên cứu một con cá hồi sinh sản người ta phát hiện ra một quy luật nó chuyển động trong nước yên lặng là \(s(t)=-\frac{t^{2}}{10}+4 t\) với t (giờ) là khoảng thời gian từ lúc con cá bắt đầu chuyển động và s(t) ( km ) là quãng đường con cá bơi trong khoảng thời gian đó. Nếu thả con cá hồi vào dòng sông có vận tốc dòng nước chảy là 2 km/h. Tính khoảng cách xa nhất mà con cá hồi đó có thể bơi ngược dòng nước đến nơi để trứng
-
Tính thể tích khối tròn xoay khi quay hình phẳng xác định bởi: \(\displaystyle y = 2 - {x^2},y = 1\), quanh trục \(\displaystyle Ox\).
