Tích phân \( \int\limits_{0}^{\pi}(3 x+2) \cos ^{2} x d x\) bằng:
Suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo saiĐặt \(I=\int\limits_0^{\pi}(3 x+2) \cos ^{2} x d x\) ta có:
\(I=\frac{1}{2} \int_{0}^{\pi}(3 x+2)(1+\cos 2 x) \mathrm{d} x=\frac{1}{2}\left[\int_{0}^{\pi}(3 x+2) \mathrm{d} x+\int_{0}^{\pi}(3 x+2) \cos 2 x \mathrm{d} x\right]=\frac{1}{2}\left(I_{1}+I_{2}\right)\)
\(I_{1}=\int_{0}^{\pi}(3 x+2) \mathrm{d} x=\left.\left(\frac{3}{2} x^{2}+2 x\right)\right|_{0} ^{\pi}=\frac{3}{2} \pi^{2}+2 \pi\)
\(I_{2}=\int_{0}^{\pi}(3 x+2) \cos 2 x \mathrm{d} x\).
Dùng tích phân từng phần
\(\left\{\begin{array}{l} u=3 x+2 \\ \mathrm{d} v=\cos 2 x \mathrm{d} x \end{array} \Rightarrow\left\{\begin{array}{l} \mathrm{d} u=3 \mathrm{d} x \\ v=\frac{1}{2} \sin 2 x \end{array}\right.\right.\)
Khi đó: \(I_{2}=\left.\frac{1}{2}(3 x+2) \sin 2 x\right|_{0} ^{\pi}-\frac{3}{2} \int_{0}^{\pi} \sin 2 x \mathrm{d} x=0+\left.\frac{3}{4}(\cos 2 x)\right|_{0} ^{\pi}=0\)
Vậy \( I=\frac{1}{2}\left(\frac{3}{2} \pi^{2}+2 \pi\right)=\frac{3}{4} \pi^{2}+\pi\)
Câu hỏi liên quan
-
Cho hàm số \(f(x)\) xác định trên \(\mathbb{R}\backslash \left\{ -2;1 \right\}\) thỏa mãn \({f}'\left( x \right)=\frac{1}{{{x}^{2}}+x-2},f\left( -3 \right)-f\left( 3 \right)=0,f\left( 0 \right)=\frac{1}{3}\). Giá trị của biểu thức \(f\left( -4 \right)+f\left( 1 \right)-f\left( 4 \right)\) bằng
-
Tích phân \(I=\int_{0}^{1}\left(a x^{2}+b x\right) d x\) có giá trị là:
-
Cho hình phẳng (H ) giới hạn bởi các đường \(y=\left|x^{2}-4 x+3\right|, y=x+3\) (phần tô đậm trong hình vẽ). Diện tích của (H ) bằng
-
Tích phân \(\int\limits_0^2 {\frac{2}{{2x + 1}}} {\rm{d}}x\) bằng.
-
Cho hàm số f(x) thỏa mãn
\(f^{\prime}(x)+2 x \cdot f(x)=\mathrm{e}^{x} f(x) \text { với } f(x) \neq 0, \forall x \text { và } f(0)=1\) . Khi đó \(\mid f(1)|\) bằng? -
Tích phân \(I = \mathop \smallint \nolimits_0^1 \left( {3{x^2} + 2x - 1} \right)dx\) bằng
-
Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) có đạo hàm liên tục trên \(\mathbb{R}\) và có đồ thị như hình vẽ.
.jpg.png)
Giá trị của biểu thức \(I = \int\limits_0^4 {f’\left( {x – 2} \right){\rm{d}}x + } \int\limits_0^2 {f’\left( {x + 2} \right){\rm{d}}x} \) bằng
-
Cho hàm số \(f(x) = \left\{ \begin{array}{l} 1 - {x^2}\,\,\,{\rm{khi }}x \le 1\\ 2x - 2\,\,\,\,\,{\rm{khi }}x > 1 \end{array} \right.\). Tính tích phân \(\int\limits_{-\frac{\pi }{2}}^{\frac{\pi }{4}}{f\left( 5\sin 2x-1 \right)}\cos 2x\text{d}x\).
-
Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) liên tục trên đoạn \(\left[ { – 1\,;\,3} \right]\) thỏa mãn \(\int\limits_0^1 {f\left( x \right)} \,{\rm{d}}x = 2\) và \(\int\limits_1^3 {f\left( x \right)} \,{\rm{d}}x = 4\). Tính \(\int\limits_{ – 1}^3 {f\left( {\left| x \right|} \right)\,} {\rm{d}}x\).
-
Tính tích phân \(I = \mathop \smallint \nolimits_{ - 1}^0 \left( {2{x^2} + x + 1} \right)\ln \left( {x + 2} \right)dx\)
-
Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số x3−x và đồ thị hàm số y = x−x2
-
Cho f(x) là hàm số chẵn liên tục trong đoạn \([-1 ; 1] \text { và } \int_{-1}^{1} f(x) \mathrm{d} x=2\). Kết quả \(I=\int_{-1}^{1} \frac{f(x)}{1+e^{x}} \mathrm{~d} x\) bằng?
-
Cho hàm số \(f(x) = \left\{ \begin{array}{l} {x^4} + 2{x^2} - 1\,\,\,\,\,{\rm{khi }}x < 1\\ 3 - {x^2}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,{\rm{khi }}x \ge 1 \end{array} \right.\). Tính tích phân \(\int\limits_{1}^{{{e}^{4}}}{f\left( \sqrt{4-\ln x} \right)}\frac{1}{x}\text{d}x\).
-
Giả sử hàm số f liên tục trên đoạn [0;2] thỏa mãn \(\mathop \smallint \nolimits_0^2 f\left( x \right)dx = 6\). Giá trị của tích phân \(\mathop \smallint \nolimits_0^{\frac{{\rm{\pi }}}{2}} f\left( {2\sin \;x} \right)\cos \;xdx\) là
-
Nếu \(\int_{-2}^{0}\left(4-e^{-x / 2}\right) d x=K-2 e\) thì giá trị của K là
-
Tính thể tích khối tròn xoay khi quay quanh Ox. Đồ thị hàm số y = cosx, y = 0, x = 0 , \(x = \frac{{\rm{\pi }}}{4}\)
-
Tính tích phân sau \(\mathop \smallint \nolimits_0^{\frac{{\rm{\pi }}}{2}} \left( {2\cos \;x - \sin \;2x} \right)dx\)
-
Cho hình phẳng (H ) giới hạn bởi các đường\(y=x^{2}, y=2 x\) . Thể tích của khối tròn xoay được tạo thành khi quay (H ) xung quanh trục Ox bằng:
-
Cho f (x) không âm thỏa mãn điều kiện \(f(x) \cdot f^{\prime}(x)=2 x \sqrt{f^{2}(x)+1} \text { và } f(0)=0\) . Tổng giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số y=f(x)trên [1;3] là ?
-
Cho hai hàm số f(x) và g(x) liên tục trên [a;b] và thỏa mãn 0 < g(x) < f(x), ∀ x ∈ [a;b]. Gọi V là thể tích của khối tròn xoay sinh ra khi quay quanh Ox hình phẳng (H) giới hạn bởi các đường: y = f(x), y = g(x), x = a; x = b. Khi đó V được tính bởi công thức nào sau đây?
