Cho hàm số \(f\left( x \right)\) có đạo hàm liên tục trên đoạn \(\left[ {0;\,1} \right]\) thỏa mãn \(f\left( 1 \right) = 1, \,\int\limits_0^1 {{{\left[ {f’\left( x \right)} \right]}^2}{\rm{d}}x = \frac{9}{5}} \) và \(\int\limits_0^1 {f\left( {\sqrt x } \right){\rm{d}}x} = \frac{2}{5}\). Tính tích phân \(I = \int\limits_0^1 {f\left( x \right){\rm{d}}x} \).
Suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo saiĐặt \(t = \sqrt x \Rightarrow {t^2} = x \Rightarrow {\rm{d}}x = 2t{\rm{d}}t\). Đổi cận \(x = 0 \Rightarrow t = 0;\,\,x = 1 \Rightarrow t = 1\)
Suy ra \(\int\limits_0^1 {f\left( {\sqrt x } \right){\rm{d}}x} = 2\int\limits_0^1 {t.f\left( t \right){\rm{d}}t} \Leftrightarrow \int\limits_0^1 {t.f\left( t \right){\rm{d}}t} = \frac{1}{5}\). Do đó \( \Leftrightarrow \int\limits_0^1 {x.f\left( x \right){\rm{d}}x} = \frac{1}{5}\)
Mặt khác \(\int\limits_0^1 {x.f\left( x \right){\rm{d}}x} = \left. {\frac{{{x^2}}}{2}f\left( x \right)} \right|_0^1 – \int\limits_0^1 {\frac{{{x^2}}}{2}f’\left( x \right){\rm{d}}x} = \frac{1}{2} – \int\limits_0^1 {\frac{{{x^2}}}{2}f’\left( x \right){\rm{d}}x} \).
Suy ra \(\int\limits_0^1 {\frac{{{x^2}}}{2}f’\left( x \right){\rm{d}}x} = \frac{1}{2} – \frac{1}{5} = \frac{3}{{10}} \Rightarrow \int\limits_0^1 {{x^2}f’\left( x \right){\rm{d}}x} = \frac{3}{5}\)
Ta tính được \(\int\limits_0^1 {{{\left( {3{x^2}} \right)}^2}} {\rm{d}}x = \frac{9}{5}\).
Do đó \(\int\limits_0^1 {{{\left[ {f’\left( x \right)} \right]}^2}{\rm{d}}x – 2\int\limits_0^1 {3{x^2}f’\left( x \right){\rm{d}}x} } + \int\limits_0^1 {{{\left( {3{x^2}} \right)}^2}} {\rm{d}}x = 0 \Leftrightarrow \int\limits_0^1 {{{\left( {f’\left( x \right) – 3{x^2}} \right)}^2}{\rm{d}}x} = 0\)
\( \Leftrightarrow f’\left( x \right) – 3{x^2} = 0 \Leftrightarrow f’\left( x \right) = 3{x^2} \Leftrightarrow f\left( x \right) = {x^3} + C\).
Vì \(f\left( 1 \right) = 1\) nên \(f\left( x \right) = {x^3}\)
Vậy $I = \int\limits_0^1 {f\left( x \right){\rm{d}}x} = \int\limits_0^1 {{x^3}{\rm{d}}x} = \frac{1}{4}$.
Câu hỏi liên quan
-
Cho hàm số f(x) liên tục trên \(\mathbb{R}\) , có đồ thị như hình vẽ. Gọi S là diện tích hình phẳng được giới hạn bởi đồ thị hàm số f(x ) , trục hoành và trục tung. Khẳng định nào sau đây đúng?
-
Cho hàm số \(f(x) = \left\{ \begin{array}{l} 2{x^2} + 1\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,{\rm{khi }}x \ge 0\\ 2{x^2} - x + 1\,\,\,\,\,{\rm{khi }}x < 0 \end{array} \right.\). Tính tích phân \(\int\limits_{0}^{\frac{\pi }{3}}{f\left( 3\cos x-2 \right)}\sin x\text{d}x\).
-
Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số\(y=\cos x\) , trục tung, trục hoành và đường thẳng \(x =\pi\) bằng
-
Tích phân \(I=\int_{0}^{1} \frac{1}{x^{2}+1} d x\) có giá trị là:
-
Biết rằng \(\int_{1}^{5} \frac{3}{x^{2}+3 x} \mathrm{d} x=a \ln 5+b \ln 2(a, b \in Z)\). Mệnh đề nào sau đây đúng
-
Viết công thức tính diện tích hình phẳng được giới hạn bởi đồ thị hàm số y=f(x), trục Ox và các đường thẳng \(x=a, x=b(a<b)\)
-
Cho hàm số \(f\left( x \right)\) liên tục trên đoạn \(\left[ {0;\,10} \right]\) và \(\int\limits_0^{10} {f\left( x \right){\rm{d}}x = 7} \) và \(\int\limits_2^6 {f\left( x \right){\rm{d}}x = 3} \). Tính \(P = \int\limits_0^2 {f\left( x \right){\rm{d}}x + \int\limits_6^{10} {f\left( x \right){\rm{d}}x} } \).
-
Cho hàm số \(f(x) = \left\{ \begin{array}{l} 1 - {x^2}\,\,\,\,{\rm{khi}}\;x \le 3\\ 7 - 5x\,\,\,{\rm{khi}}\,\,x > 3 \end{array} \right.\). Tính tích phân \(\int\limits_{0}^{\ln 2}{f\left( 3{{e}^{x}}-1 \right)}{{\text{e}}^{x}}\text{d}x\).
-
Tích phân\(\int\limits_{\frac{\pi}{3}}^{\frac{2 \pi}{3}} \cos \left(3 x-\frac{2 \pi}{3}\right) d x\) có giá trị là
-
Nếu \(\mathop \smallint \nolimits_1^2 f\left( x \right)dx = 2\) thì \(I = \mathop \smallint \nolimits_1^2 \left[ {3f\left( x \right) - 2} \right]dx\) bằng bao nhiêu?
-
Cho \(I=\int_{1}^{2} f(x) \mathrm{d} x=2\) . Giá trị của \(J=\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{\sin x \cdot f(\sqrt{3 \cos x+1})}{\sqrt{3 \cos x+1}} \mathrm{~d} x\)
-
Tính tích phân sau: \(I = \mathop \smallint \nolimits_{\sqrt 3 }^{2\sqrt 2 } \frac{{\sqrt {1 + {x^2}} }}{x}dx\)
-
Cho hai hàm số liên tục f và g có nguyên hàm lần lượt là F và G trên đoạn [1;2] . Biết rằng \(F(1)=1, F(2)=4, G(1)=\frac{3}{2}, G(2)=2 \text { và } \int\limits_{1}^{2} f(x) G(x) d x=\frac{67}{12}\) . Tích phân \(\int_{1}^{2} F(x) g(x) d x\) có giá trị bằng
-
Tìm khẳng định đúng trong các khẳng định sau:
-
Cho f(x);g(x) là các hàm số liên tục trên R thoả mãn \(\int_{0}^{1} f(x) d x=3\), \(\int_{0}^{2}[f(x)-3 g(x)] d x=4 \text { và } \int_{0}^{2}[2 f(x)+g(x)] d x=8\). \(\text { Tính } \int_{1}^{2} f(x) d x\)
-
Cho f(x) liên tục trên [0;5] thỏa mãn \(\mathop \smallint \limits_0^5 f\left( x \right)dx = 5,\mathop \smallint \limits_1^3 f\left( x \right)dx = 1\), khi đó giá trị của \(P = \mathop \smallint \limits_0^1 f\left( x \right)dx + \mathop \smallint \limits_3^5 f\left( x \right)dx\) là:
-
Tính tích phân \(I=\int\limits_{0}^{\pi} x^{2} \cos 2 x \mathrm{d} x\) bằng cách đặt \(\left\{\begin{array}{l} u=x^{2} \\ \mathrm{d} v=\cos 2 x \mathrm{d} x \end{array}\right.\). Mệnh đề nào sau đây đúng?
-
Biết \(% MathType!MTEF!2!1!+- % feaahqart1ev3aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn % hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr % 4rNCHbGeaGqiVu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq-Jc9 % vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0-yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr-x % fr-xb9adbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaWaa8qCaeaaca % WG4bGaaeyzamaaCaaaleqabaGaaGOmaiaadIhaaaGccaWGKbGaamiE % aaWcbaGaaGimaaqaaiaaigdaa0Gaey4kIipakiabg2da9iaadggaca % qGLbWaaWbaaSqabeaacaaIYaaaaOGaey4kaSIaamOyaaaa!4527! \int\limits_0^1 {x{{\rm{e}}^{2x}}dx} = a{{\rm{e}}^2} + b\)\(; ( a,b \in Q)\). Tính P = a + b
-
Tích phân \(I=\int_{1}^{2} x^{5} d x\) có giá trị là:
-
Biết \(\int\limits_0^{{x^2}} {f\left( t \right)} {\rm{d}}t = x\cos \left( {\pi x} \right),\forall x \in \mathbb{R}\). Tính \(f\left( 4 \right)\).
