Tìm phương trình chính tắc của elip, biết elip có tiêu cự bằng 8 và đi qua điểm \(M\left( {\sqrt {15} ; - \,1} \right)\).
Suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo saiGọi phương trình chính tắc của Elip là \(\left( E \right):\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} + \frac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1,\) với a > b > 0
Elip có tiêu cự bằng 8 suy ra \(2c = 8 \Leftrightarrow c = 4 \Leftrightarrow {a^2} - {b^2} = {c^2} = 16\) (1)
Elip đi qua điểm \(M\left( {\sqrt {15} ; - \,1} \right)\) suy ra \(\frac{{{{\left( {\sqrt {15} } \right)}^2}}}{{{a^2}}} + \frac{{{{\left( { - \,1} \right)}^2}}}{{{b^2}}} = 1 \Leftrightarrow \frac{{15}}{{{a^2}}} + \frac{1}{{{b^2}}} = 1\) (2)
Từ (1) và (2) suy ra
\(\left\{ \begin{array}{l} {a^2} - {b^2} = 16\\ \frac{{15}}{{{a^2}}} + \frac{1}{{{b^2}}} = 1 \end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} {a^2} = {b^2} + 16\\ \frac{{15}}{{{b^2} + 16}} + \frac{1}{{{b^2}}} = 1 \end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} {a^2} = {b^2} + 16\\ {b^4} = 16 \end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} {a^2} = 20\\ {b^2} = 4 \end{array} \right..\)
Vậy phương trình cần tìm là \(\left( E \right):\frac{{{x^2}}}{{20}} + \frac{{{y^2}}}{4} = 1.\)
Câu hỏi liên quan
-
Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, ta xét hypebol (H) có phương trình chính tắc là \(\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} - \frac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1\), trong đó a > 0, b > 0 (Hình 14).
.png)
Cho điểm M(x; y) nằm trên hypebol (H). Gọi M1, M2, M3 lần lượt là điểm đối xứng của M qua trục Ox, trục Oy và gốc O. Vị trí các điểm M1, M2, M3 so với hypebol (H)
-
Phương trình chính tắc của elip trong Hình 4 là:
-
Lấy một tấm bìa, trên đó đánh dấu hai điểm F1 và F2. Lấy một cây thước thẳng với mép thước AB có chiều dài d và một đoạn dây không đàn hồi có chiều dài l sao cho d – l = 2a nhỏ hơn khoảng cách F1F2 (Hình 6a). Đính một đầu dây vào đầu A của thước, dùng đinh ghim đầu dây còn lại vào điểm F2. Đặt thước sao cho đầu B của thước trùng với điểm F1 và đoạn thẳng BA có thể quay quanh F1. Tựa đầu bút chì M vào đoạn dây, di chuyển điểm M trên tấm bìa và giữ sao cho dây luôn căng, đoạn AM ép sát vào thước, khi đó M sẽ vạch ra trên tấm bìa một đường (H) (xem Hình 6b). Khi M di động, ta luôn có:
.png)
-
Cho \(\left( E \right):\dfrac{{{x^2}}}{{20}} + \dfrac{{{y^2}}}{{16}} = 1\). Một đường thẳng đi qua điểm A(2; 2) và song song với trục hoành cắt (E) tại hai điểm phân biệt M và N. Tính độ dài MN.
-
Elip có hai đỉnh là \(\left( { - 3;0} \right);\;\left( {3;0} \right)\) và có hai tiêu điểm là \(\left( { - 1;0} \right);\;\left( {1;0} \right)\). Phương trình chính tắc của elip là:
-
\(\text { Cặp điểm nào là các tiêu điểm của hypebol } \frac{x^{2}}{9}-\frac{y^{2}}{5}=1 \text { ? }\)
-
Một người đứng ở giữa một tấm ván gỗ đặt trên giàn giáo để sơn tường nhà. Biết rằng giàn giáo dài 16 m và độ võng tại tâm của ván gỗ (điểm ở giữa ván gỗ) là 3cm (Hình 4). Cho biết đường cong của ván gỗ có hình parabol. Giả sử tâm ván gỗ trùng với đỉnh của parabol, tìm phương trình chính tắc của parabol.
.png)
-
Cho đường tròn có phương trình \(x^{2}+y^{2}+5 x-4 y+4=0\) . Bán kính của đường tròn là:
-
Phương trình chính tắc của hypebol có một đỉnh là A2(5; 0) và một đường tiệm cận là y = –3x là:
-
Tìm tọa độ tâm đường tròn đi qua 3 điểm \(A(0 ; 5), B(3 ; 4), C(4 ; 3)\)
-
Phương trình chính tắc của các đường conic (C1): 4x2 + 16y2 = 1
-
Phương trình chính tắc của đường conic (C2): 16x2 – 4y2 = 144
-
Tìm phương trình chính tắc của elip có tiêu cự bằng 6 và trục lớn bằng 10.
-
Tìm tọa độ tâm đường tròn đi qua 3 điểm \(A(0 ; 4), B(2 ; 4), C(4 ; 0)\)
-
Elip \((E): \frac{x^{2}}{16}+\frac{y^{2}}{12}=1\)= có một đỉnh nằm trên trục bé là:
-
Elip (E) có độ dài trục bé bằng tiêu cự. Tỉ số e của tiêu cự với độ dài trục lớn của (E) bằng:
-
Cho elip \(\left( E \right):4{x^2} + 9{y^2} = 36\). Tìm mệnh đề sai trong các mệnh đề sau.
-
Để vẽ hypebol (H) bạn An đã thực hiện các bước như sau:
Vẽ hypebol (H) với a = 3, b = 4. (H) có các đỉnh là A1(– 3; 0), A2(3; 0).
Bước 1. Vẽ hình chữ nhật cơ sở có bốn cạnh thuộc bốn đường thẳng x = –3, x = 3, y = – 4, y = 4.
Bước 2. Vẽ hai đường chéo của hình chữ nhật cơ sở.
Tim một số điểm cụ thể thuộc hypebol, chẳng hạn ta thấy điểm\(M\left( {5;\frac{{16}}{3}} \right)\) thuộc (H). Do đó các điểm\({M_1}\left( {5; - \frac{{16}}{3}} \right),{M_2}\left( { - 5;\frac{{16}}{3}} \right),{M_3}\left( { - 5; - \frac{{16}}{3}} \right)\) thuộc (H).
Bước 3. Vẽ đường hypebol bên ngoài hình chữ nhật cơ sở; nhánh bên trái tiếp xúc với cạnh của hình chữ nhật cơ sở tại điểm A1(– 3; 0) và đi qua M2, M3; nhánh bên phải tiếp xúc với cạnh của hình chữ nhật cơ sở tại điểm A2(3; 0) và đi qua M, M1. Vẽ các điểm thuộc hypebol càng xa gốc toạ độ thi càng sát với đường tiệm cận. Hypebol nhận gốc toạ độ là tâm đối xứng và hai trục toạ độ là hai trục đối xứng.
Bằng cách này, em hãy cho biết bạn An đã vẽ được hypebol (H) có phương trình như thế nào?
-
Phương trình chính tắc của elip có hai tiêu điểm \(F_{1}(-2 ; 0), F_{2}(2 ; 0)\) và đi qua điểm M (2;3) là:
-
Hình 11 minh hoạ mặt cắt đứng của một căn phòng trong bảo tàng với mái vòm trần nhà của căn phòng đó có dạng một nửa đường elip. Chiều rộng của căn phòng là 16 m, chiều cao của tượng là 4 m, chiều cao của mái vòm là 3 m.
.png)
Phương trình chính tắc của elip biểu diễn mái vòm trần nhà trong hệ trục tọa độ Oxy (đơn vị trên hai trục là mét) là:
