Tìm tất cả các giá trị của tham số m để phương trình \(\sqrt{\log _{2}^{2}x+{{\log }_{\frac{1}{2}}}{{x}^{2}}-3}=m\left( {{\log }_{2}}{{x}^{2}}-3 \right)\) có nghiệm thuộc \(\left[ 32;+\infty \right)\)?
Suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo saiĐK: \(x>0\). Khi đó phương trình tương đương:
\(\sqrt{\log _{2}^{2}x-2{{\log }_{2}}x-3}=m\left( {{\log }_{2}}x-3 \right)\)
Đặt: \(t={{\log }_{2}}x\), với \(x\ge 32\Rightarrow {{\log }_{2}}x\ge {{\log }_{2}}32=5\text{ hay }t\ge 5.\)
Phương trình trở thành: \(\sqrt{{{t}^{2}}-2t-3}=m\left( t-3 \right)\text{ }\left( * \right)\).
Khi đó bài toán trở thành tìm m để phương trình (*) có nghiêm \(t\ge 5\).
Với \(t\ge 5\) thì:
\(\begin{align} & \left( * \right)\Leftrightarrow \sqrt{\left( t-3 \right).\left( t+1 \right)}=m\left( t-3 \right)\Leftrightarrow t-3\left( \sqrt{t+1}-m\sqrt{t-3} \right)=0 \\ & \Leftrightarrow \sqrt{t+1}-m\sqrt{t-3}=0\Leftrightarrow m=\sqrt{\frac{t+1}{t-3}} \\ \end{align}\)
Ta có: \(\frac{t+1}{t-3}=1+\frac{4}{t-3}\). Với \(t\ge 5\Rightarrow 1<1+\frac{4}{t-3}\le 1+\frac{4}{5-3}=3\) hay:
\(1<\frac{t+1}{t-3}\le 3\Rightarrow 1<\sqrt{\frac{t+1}{t-3}}\le \sqrt{3}\)
Suy ra \(1<m\le \sqrt{3}\). Vậy phương trình có nghiệm thỏa ycbt với \(1<m\le \sqrt{3}\).
