Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho hàm số \(y=(m-3) x-(2 m+1) \cos x\) luôn nghịch biến trên \(\mathbb{R}\) ?
Suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo saiTXĐ: \(D=\mathbb{R} . \text { Ta có: } y^{\prime}=m-3+(2 m+1) \sin x\)
Hàm số nghịch biến trên \(\mathbb{R} \Leftrightarrow y^{\prime} \leq 0, \forall x \in \mathbb{R} \Leftrightarrow(2 m+1) \sin x \leq 3-m, \forall x \in \mathbb{R}\)
TH1: \(m=-\frac{1}{2} \text { ta có } 0 \leq \frac{7}{2}, \forall x \in \mathbb{R}\). Vậy hàm số luôn nghịch biến trên \(\mathbb{R}\) .
TH2: \(m<-\frac{1}{2} \text { ta có } \sin x \geq \frac{3-m}{2 m+1}, \forall x \in \mathbb{R} \Leftrightarrow \frac{3-m}{2 m+1} \leq-1 \Leftrightarrow 3-m \geq-2 m-1 \Leftrightarrow m \geq-4\)
TH3: \(m>-\frac{1}{2}\) ta có:
\(\sin x \leq \frac{3-m}{2 m+1}, \forall x \in \mathbb{R} \Leftrightarrow \frac{3-m}{2 m+1} \geq 1 \Leftrightarrow 3-m \geq 2 m+1 \Leftrightarrow m \leq \frac{2}{3}\)
Vậy \(m \in\left[-4 ; \frac{2}{3}\right]\)