Tính \( M = \frac{{A_{n + 1}^4 + 3A_n^3}}{{(n + 1)!}}\) , biết \( C_{n + 1}^2 + 2C_{n + 2}^2 + 2C_{n + 3}^2 + C_{n + 4}^2 = 149\)
Suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo saiĐiều kiện: \(\left\{ \begin{array}{l} n \in N\\ n \ge 3 \end{array} \right.\)
Ta có:
\(\begin{array}{l} C_{n + 1}^2 + 2C_{n + 2}^2 + 2C_{n + 3}^2 + C_{n + 4}^2 = 149\\ \Leftrightarrow \frac{{\left( {n + 1} \right)!}}{{2!\left( {n - 1} \right)!}} + 2\frac{{\left( {n + 2} \right)!}}{{2!n!}} + 2\frac{{\left( {n + 3} \right)!}}{{2!\left( {n + 1} \right)!}} + \frac{{\left( {n + 4} \right)!}}{{2!\left( {n + 2} \right)!}} = 149\\ \Leftrightarrow \frac{{\left( {n + 1} \right)n}}{2} + \frac{{2\left( {n + 2} \right)\left( {n + 1} \right)}}{2} + \frac{{2\left( {n + 3} \right)\left( {n + 2} \right)}}{2} + \frac{{\left( {n + 4} \right)\left( {n + 3} \right)}}{2} = 149\\ \Leftrightarrow {n^2} + n + 2\left( {{n^2} + 3n + 2} \right) + 2\left( {{n^2} + 5n + 6} \right) + {n^2} + 7n + 12 = 298\\ \Leftrightarrow 6{n^2} + 24n - 270 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} n = 5(tm)\\ n = - 9(l) \end{array} \right. \end{array}\)
Do đó: \( M = \frac{{A_6^4 + 3A_5^3}}{{6!}} = \frac{3}{4}\)
Câu hỏi liên quan
-
Trong khai triển\(\left(x+\frac{2}{\sqrt{x}}\right)^{6}\) hệ số của \(x^{3},(x>0)\) là:
-
Hế số thứ năm trong khai triển là \(\left(x^{3}+\frac{1}{x^{2}}\right)^{n}\)
-
Giá trị của thỏa mãn \(C_{n}^{1}+C_{n}^{2}+C_{n}^{3}=\frac{7 n}{2}\) là
-
Giải phương trình sau với ẩn \(n \in \mathbb{N}: C_{5}^{n-2}+C_{5}^{n-1}+C_{5}^{n}=25\)
-
Khai triển nhị thức (a−2b)5 thành tổng các đơn thức
-
Cho khai triển \((1-2 x)^{20}=a_{0}+a_{1} x+a_{2} x^{2}+\cdots+a_{20} x_{20}\). Giá trị của \(a_0+a_1+...+a_{20}\) bằng:
-
Tìm \(n \in \mathbb{N}, \text { biết } A_{n}^{3}+C_{n}^{n-2}=14 n\)
-
Giá trị của \(n \in \mathbb{N}\) bằng bao nhiêu, biết \(\frac{5}{C_{5}^{n}}-\frac{2}{C_{6}^{n}}=\frac{14}{C_{7}^{n}}\)
-
Số hạng thứ 12 trong khai triển của (2−x)15. Các số hạng được sắp xếp theo thứ tự lũy thừa tăng dần của x.
-
Tính tổng sau:\(S_{2}=2.1 . C_{n}^{2}+3.2 C_{n}^{3}+4.3 C_{n}^{4}+\ldots+n(n-1) C_{n}^{n}\)
-
Khai triển \((\sqrt{5}-\sqrt[4]{7})^{124}\). Có bao nhiêu số hạng hữu tỉ trong khai triển trên?
-
Trong khai triển \(\left(3 x^{2}-y\right)^{10}\) hệ số của số hạng chính giữa là:
-
Trong khai triển \((0,2+0,8)^{5}\) số hạng thứ tư là:
-
Tìm hệ số của số hạng chứa x26 trong khai triển nhị thức Newton của \(\left(\frac{1}{x^{4}}+x^{7}\right)^{n}\), biết \(C_{2 n+1}^{1}+C_{2 n+1}^{2}+\ldots+C_{2 n+1}^{n}=2^{20}-1\)
-
Tính tổng sau: \(S_{1}=5^{n} C_{n}^{0}+5^{n-1} \cdot 3 \cdot C_{n}^{n-1}+3^{2} \cdot 5^{n-2} C_{n}^{n-2}+\ldots+3^{n} C_{n}^{0}\)
-
Tính tổng \(S=1 . C_{2018}^{1}+2 . C_{2018}^{2}+3 . C_{2018}^{3}+\ldots+2018 . C_{2018}^{20188}\)
-
Cho đa giác đều n đỉnh, \(n \in \mathbb{N} \text { và } n \geq 3\) . Tìm n biết rằng đa giác đã cho có 135 đường chéo
-
Hệ số lớn nhất trong khai triển \(\left(\frac{1}{4}+\frac{3}{4} x\right)^{4}\)
-
Giải phương trình với ẩn số nguyên dương n thỏa mãn \(A_{n}^{2}-3 C_{n}^{2}=15-5 n\)
-
Tìm hệ số của số hạng chứa x8 trong khai triển nhị thức Niutơn của \(\left(\frac{1}{x^{3}}+\sqrt{x^{5}}\right)^{n}\) biết
\(C_{n+4}^{n+1}-C_{n+3}^{n}=7(n+3)\)
