Tính tích phân \(\mathop \smallint \nolimits_{\frac{{\rm{\pi }}}{4}}^{\frac{{3{\rm{\pi }}}}{4}} \left| {\sin 2x} \right|dx\) ta được kết quả :

Gọi (H ) là hình phẳng giới hạn bởi các đồ thị hàm số y = tan x , trục hoành và các đường thẳng \(x=0, x=\frac{\pi}{4}\) Quay (H ) xung quanh trục Ox ta được khối tròn xoay có thể tích bằng
 

Tích phân \(\int\limits_1^2 {2x{\rm{d}}x} \) có giá trị là:

Gọi (H) là hình phẳng giới hạn bởi các đường y = 2x − x²; Ox. Quay (H) xung quanh trục Ox ta được khối tròn xoay có thể tích bằng?

Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường \(y=x^{2}, y=-\frac{1}{3} x+\frac{4}{3}\) và trục hoành.

Tính tích phân \(I = \mathop \smallint \nolimits_0^2 \left| {x - 1} \right|dx\) ta được kết quả:

Tính tích phân \(I = \mathop \smallint \nolimits_0^{\sqrt 3 } \frac{{{x^3}}}{{\sqrt {{x^2} + 1} }}dx\)

Cho hàm số \(f\left( x \right)\) liên tục trên đoạn \(\left[ {0;\,10} \right]\) và \(\int\limits_0^{10} {f\left( x \right){\rm{d}}x = 7} \) và \(\int\limits_2^6 {f\left( x \right){\rm{d}}x = 3} \). Tính \(P = \int\limits_0^2 {f\left( x \right){\rm{d}}x + \int\limits_6^{10} {f\left( x \right){\rm{d}}x} } \).

Cho hàm số f (x) liên tục trên \([0 ; 1] \text { và } f(1)-f(0)=2\). Tính \(\int_{0}^{1} f^{\prime}(x) \mathrm{d} x\)

Giả sử \(\mathop \smallint \nolimits_0^2 \frac{{x - 1}}{{{x^2} + 4x + 3}}dx = a\ln 5 + b\ln 3;\;a,b \in Q\). Tính P = ab.

Cho hàm số \(f\left( x \right)\) liên tục trên \(\mathbb{R}\) và \(\int\limits_{0}^{1}{f\left( x \right)\text{d}x}=4\), \(\int\limits_{0}^{3}{f\left( x \right)\text{d}x}=6\). Tính \(I=\int\limits_{-1}^{1}{f\left( \left| 2x+1 \right| \right)\text{d}x}\)

Cho f(x) là hàm số liên tục trên đoạn [a; b] và c ∈ [a; b]. Tìm mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau.

Cho hàm số \(f(x) = \left\{ \begin{array}{l} 2{x^2} - 1\,\,\,\,\,\,{\rm{khi}}\,\,x < 0\\ x - 1\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,{\rm{khi}}\,\,0 \le x \le 2\\ 5 - 2x\,\,\,\,\,\,\,\,{\rm{khi}}\,\,x > 2\, \end{array} \right.\). Tính tích phân \(\int\limits_{-\frac{\pi }{4}}^{\frac{\pi }{4}}{f\left( 2-7\tan x \right)}\frac{1}{{{\cos }^{2}}x}\text{d}x\).

Tích phân \(\int_{1}^{e}(2 x-5) \ln x d x\) bằng
 

Để tính \(% MathType!MTEF!2!1!+- % feaahqart1ev3aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn % hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr % 4rNCHbGeaGqiVu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq-Jc9 % vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0-yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr-x % fr-xb9adbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaGaamytaiabg2 % da9maapehabaWaaeWaaeaacaWG4bGaey4kaSIaaGymaaGaayjkaiaa % wMcaaiaaikdadaahaaWcbeqaaiaadIhaaaaabaGaaGimaaqaaiaaig % daa0Gaey4kIipaaaa!41A8! M = \int\limits_0^1 {\left( {x + 1} \right){2^x}} \) bằng phương pháp tích phân từng phần ta đặt u = x + 1 và \(% MathType!MTEF!2!1!+- % feaahqart1ev3aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn % hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr % 4rNCHbGeaGqiVu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq-Jc9 % vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0-yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr-x % fr-xb9adbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaGaaeizaabaaa % aaaaaapeGaamODaiabg2da9iaaikdadaahaaWcbeqaaiaadIhaaaGc % caWGKbGaamiEaaaa!3CD2! {\rm{d}}v = {2^x}dx\). Tìm du và tính M

Giả sử \(\mathop \smallint \nolimits_a^b f\left( x \right)dx = 2\;,\;\mathop \smallint \nolimits_c^b f\left( x \right)dx = 3\;\) và a < b < c thì \(\mathop \smallint \nolimits_a^c f\left( x \right)dx\) bằng bao nhiêu ?

Cho hàm số f(x) liên tục trên ℝ thỏa mãn \(x+f^{3}(x)+2 f(x)=1, \forall x \in \mathbb{R}\) . Tính \(I=\int_{-2}^{1} f(x) \mathrm{d} x\)

Cho tích phân \( \mathop \smallint \limits_{\frac{\pi }{3}}^{\frac{\pi }{2}} \frac{{\sin x}}{{cosx + 2}}d{\rm{x}} = a\ln 5 + b\ln 2\) với a,b ∈Z.  Mệnh đề nào dưới đây đúng?

Cho các số thực a, b và các mệnh đề:

\(1.\mathop \smallint \nolimits_a^b f\left( x \right)dx =  - \mathop \smallint \nolimits_a^b f\left( x \right)dx\)

\(2.\mathop \smallint \nolimits_a^b 2f\left( x \right)dx = 2\mathop \smallint \nolimits_a^b f\left( x \right)dx\)

\(3.\mathop \smallint \nolimits_a^b {f^2}\left( x \right)dx = {\left[ {\mathop \smallint \nolimits_a^b f\left( x \right)dx} \right]^2}\)

\(4.\mathop \smallint \nolimits_a^b f\left( x \right)dx = \mathop \smallint \nolimits_a^b f\left( u \right)du\)

Số mệnh đề đúng trong 4 mệnh đề trên là:

Tính \(\displaystyle \int\limits_1^2 {({z^2} + 1)\sqrt[3]{{{{(z - 1)}^2}}}} dz\)

Tích phân \(I=\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}(\sin a x+\cos a x) d x, \text { vói } a \neq 0\) có giá trị là