Tính tổng S tất cả giá trị của tham số m để đồ thị hàm số \(f(x)=x^{3}-3 m x^{2}+3 m x+m^{2}-2 m^{3}\) tiếp xúc với trục hoành.
Suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo saiTa không xét m = 0 vì giá trị này không ảnh hưởng đến tổng S .
Với \(m \neq 0 \) đồ thị hàm số f (x) tiếp xúc với trục hoành khi và chỉ khi \(\left\{\begin{array}{l} f(x)=0 \\ f^{\prime}(x)=0 \end{array}\right.\) có nghiệm.
\(\text { (I) } \Leftrightarrow\left\{\begin{array} { l } { x ^ { 3 } - 3 m x ^ { 2 } + 3 m x + m ^ { 2 } - 2 m ^ { 3 } = 0 } \\ { 3 x ^ { 2 } - 6 m x + 3 m = 0 } \end{array} \Leftrightarrow \left\{\begin{array}{l} x\left(x^{2}-2 m x\right)-m x^{2}+3 m x+m^{2}-2 m^{3}=0 \\ x^{2}-2 m x=-m \end{array}\right.\right.\)
\(\Leftrightarrow\left\{\begin{array} { l } { - m x ^ { 2 } + 2 m x + m ^ { 2 } - 2 m ^ { 3 } = 0 } \\ { x ^ { 2 } - 2 m x + m = 0 } \end{array} \Leftrightarrow \left\{\begin{array} { l } { - x ^ { 2 } + 2 x + m - 2 m ^ { 2 } = 0 } \\ { x ^ { 2 } - 2 m x + m = 0 } \end{array} \Leftrightarrow \left\{\begin{array}{l} 2 x-2 m x-2 m^{2}+2 m=0 (1)\\ x^{2}-2 m x+m=0(2) \end{array}\right.\right.\right.\)
\((1) \Leftrightarrow(x+m)(1-m) \Leftrightarrow\left[\begin{array}{l} m=1 \\ x=-m \end{array}\right.\)
\(\begin{aligned} &\text { Với } m=1 \text { thay vào }(2) \Rightarrow x=1 \text { thỏa mãn yêu cầu bài toán. }\\ &\text { Voi } x=-m \text { thay vào }(2) \Rightarrow-3 m^{2}+m=0 \Leftrightarrow m=\frac{1}{3}\\ &\text { Vậy } S=1+\frac{1}{3}=\frac{4}{3} \end{aligned}\)
