Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho bốn điểm \(A(7 ; 2 ; 3), B(1 ; 4 ; 3), C(1 ; 2 ; 6), D(1 ; 2 ; 3)\) và điểm M tùy ý. Tính độ dài đoạn khi biểu thức \(P=M A+M B+M C+\sqrt{3} M D\) đạt giá trị nhỏ nhất.
Suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo sai\(\begin{aligned} &\text { Ta có } \overrightarrow{D A}=(6 ; 0 ; 0), \overrightarrow{D B}=(0 ; 2 ; 0), \overrightarrow{D C}=(0 ; 0 ; 3) \text { nên tứ diện } \ \mathrm{ABCD} \ \text { là tứ diện vuông đỉnh } D \text { . }\\ &\text { Giả sử } M(x+1 ; y+2 ; z+3) \text { . } \end{aligned}\)
\(\begin{aligned} &\text { Ta có } M A=\sqrt{(x-6)^{2}+y^{2}+z^{2}} \geq|x-6| \geq 6-x, M B=\sqrt{x^{2}+(y-2)^{2}+z^{2}} \geq|y-2| \geq 2-y . \\ &M C=\sqrt{x^{2}+y^{2}+(z-3)^{2}} \geq|z-3| \geq 3-z, \sqrt{3} M D=\sqrt{3\left(x^{2}+y^{2}+z^{2}\right)} \geq \sqrt{(x+y+z)^{2}} \geq x+y+z . \\ &\text { Do đó } P \geq(6-x)+(2-y)+(3-z)+(x+y+z)=11 \end{aligned}\)
Vậy P đạt giá trị nhỏ nhất bằng 11, khi và chỉ khi
\(\left\{\begin{array}{l} x=y=z=0 \\ 6-x \geq 0 \\ 2-y \geq 0 \\ 3-z \geq 0 \\ x+y+z \geq 0 \end{array} \Leftrightarrow x=y=z=0 .\right.\)
\(\text { Khi đó } M(1 ; 2 ; 3) \text { suy ra } O M=\sqrt{1^{2}+2^{2}+3^{2}}=\sqrt{14} \text { . }\)
