Trong không gian với hệ tọa độ \({\rm{Ox}}yz\), cho đường thẳng \(d:\frac{{x – 1}}{{ – 1}} = \frac{y}{2} = \frac{{z + 3}}{{ – 1}}\) và mặt cầu \(\left( S \right)\) tâm I có phương trình \(\left( S \right):{\left( {x – 1} \right)^2} + {\left( {y – 2} \right)^2} + {\left( {z + 1} \right)^2} = 18\). Đường thẳng d cắt \(\left( S \right)\) tại hai điểm A,B. Tính diện tích tam giác IAB.
Suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo sai
Đường thẳng d đi qua điểm \(C\left( {1;0; – 3} \right)\) và có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow u = \left( { – 1;2; – 1} \right)\)
Mặt cầu \(\left( S \right)\) có tâm \(I\left( {1;2; – 1} \right)\), bán kính \(R = 3\sqrt 2 \)
Gọi H là hình chiếu vuông góc của I lên đường thẳng d.
Khi đó: \(IH = \frac{{\left| {\left[ {\overrightarrow {IC} ,\overrightarrow u } \right]} \right|}}{{\left| {\overrightarrow u } \right|}}\), với \(\overrightarrow {IC} = \left( {0; – 2; – 2} \right)\).
Vậy \(IH = \frac{{\sqrt {{6^2} + {2^2} + {2^2}} }}{{\sqrt {1 + 4 + 1} }} = \frac{{\sqrt {66} }}{3}\). Suy ra \(HB = \sqrt {18 – \frac{{22}}{3}} = \frac{{4\sqrt 6 }}{3}\)
Vậy: \({S_{\Delta IAB}} = \frac{1}{2}IH \cdot AB = \frac{1}{2} \cdot \frac{{\sqrt {66} }}{3} \cdot \frac{{8\sqrt 6 }}{3} = \frac{{8\sqrt {11} }}{3}.\)
