Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có A(0;2), B(-2;-2) và C(4;-2). Gọi H là chân đường cao kẻ từ B; M và N lần lượt là trung điểm của các cạnh AB và BC. Viết phương trình đường tròn đi qua các điểm H, M, N.
Suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo saiTa có \(M\left( { - 1;0} \right),N\left( {1; - 2} \right), \overrightarrow {AC} = \left( {4; - 4} \right)\) .
Giả sử \(H\left( {x;y} \right)\). Ta có :
\(\left\{ \begin{array}{l}\overrightarrow {BH} \bot \overrightarrow {AC} \\H \in AC\end{array} \right.\) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}4(x + 2) - 4(y + 2) = 0\\4x + 4(y - 2) = 0\end{array} \right.\) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 1\\y = 1\end{array} \right. \Rightarrow H\left( {1;1} \right).\)
Giả sử phương trình đường tròn cần tìm là:
\({x^2} + {y^2} + 2ax + 2by + c = 0\,(1).\)
Thay tọa độ của M, N, H vào (1) ta có:
\(\left\{ \begin{array}{l}2a - c = 1\\2a - 4b + c = - 5\\2a + 2b + c = - 2\end{array} \right.\) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = - \dfrac{1}{2}\\b = \dfrac{1}{2}\\c = - 2.\end{array} \right.\)
Vậy phương trình đường tròn cần tìm là: \({x^2} + {y^2} - x + y - 2 = 0\).