Trong số các hình trụ có diện tích toàn phần đều bằng \(S\) thì bán kính \(R\) và chiều cao \(h\) của khối trụ có thể tích lớn nhất là:
Suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo saiGọi thể tích khối trụ là \(V\), diện tích toàn phần của hình trụ là \(S\).
Ta có: \(S={{S}_{2day}}+{{S}_{xq}}=2\pi {{R}^{2}}+2\pi Rh\). Từ đó suy ra:
\(\frac{S}{2\pi }={{R}^{2}}+Rh\Leftrightarrow \frac{S}{2\pi }={{R}^{2}}+\frac{V}{\pi R}={{R}^{2}}+\frac{V}{2\pi R}+\frac{V}{2\pi R}\overset{Cauchy}{\mathop \ge }\,3\sqrt[3]{\frac{{{V}^{2}}}{4{{\pi }^{2}}}}\)
hay \(27\frac{{{V}^{2}}}{4{{\pi }^{2}}}\le {{\left( \frac{S}{2\pi } \right)}^{3}}\Leftrightarrow V\le \sqrt{\frac{{{S}^{3}}}{54\pi }}\).
Vậy \({{V}_{\max }}=\sqrt{\frac{{{S}^{3}}}{54\pi }}\). Dấu “=” xảy ra \(\Leftrightarrow \) \({{R}^{2}}=\frac{V}{2\pi R}=\frac{\pi {{R}^{2}}h}{2\pi R}=\frac{Rh}{2}\) hay \(h=2R\).
Khi đó \(S=6\pi {{R}^{2}}\Rightarrow R=\sqrt{\frac{S}{6\pi }}\) và \(h=2R=2\sqrt{\frac{S}{6\pi }}\).
