Cho dãy số xác định bởi u1 = 1, \({u_{n + 1}} = \frac{1}{3}\left( {2{u_n} + \frac{{n - 1}}{{{n^2} + 3n + 2}}} \right);{\rm{ }}n \in {N^*}\). Khi đó u2018 bằng
Suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo saiTa có: \({{\rm{u}}_{n + 1}} = \frac{1}{3}\left( {2{{\rm{u}}_n} + \frac{{n - 1}}{{{n^2} + 3n + 2}}} \right)\).
\( = \frac{1}{3}\left( {2{u_n} + \frac{3}{{n + 2}} - \frac{2}{{n + 1}}} \right)\)
\(= \frac{2}{3}{u_n} + \frac{1}{{n + 2}} - \frac{2}{3}.\frac{1}{{n + 1}}\)
\(\Leftrightarrow {u_{n + 1}} - \frac{1}{{n + 2}} = \frac{2}{3}\left( {{u_n} - \frac{1}{{n + 1}}} \right)\) (1)
Đặt \({v_n} = {u_n} - \frac{1}{{n + 1}}\), từ (1) ta suy ra: \({v_{n + 1}} = \frac{2}{3}{v_n}\).
Do đó (vn) là cấp số nhân với \({v_1} = {u_1} - \frac{1}{2} = \frac{1}{2}\), công bội \(q = \frac{2}{3}\).
Suy ra: \({v_n} = {v_1}.{q^{n - 1}} = \frac{1}{2}.{\left( {\frac{2}{3}} \right)^{n - 1}}\).
\(\Leftrightarrow {u_n} - \frac{1}{{n + 1}} = \frac{1}{2}.{\left( {\frac{2}{3}} \right)^{n - 1}}\)
\( \Leftrightarrow {u_n} = \frac{1}{2}.{\left( {\frac{2}{3}} \right)^{n - 1}} + \frac{1}{{n + 1}}\)
Vậy \({u_{2018}} = \frac{1}{2}.{\left( {\frac{2}{3}} \right)^{2017}} + \frac{1}{{2019}} = \frac{{{2^{2016}}}}{{{3^{2017}}}} + \frac{1}{{2019}}\).
Đề thi giữa HK2 môn Toán 11 năm 2021
Trường THPT Đặng Trần Côn
