Biết \(\int\limits_0^{{x^2}} {f\left( t \right)} {\rm{d}}t = x\cos \left( {\pi x} \right),\forall x \in \mathbb{R}\). Tính \(f\left( 4 \right)\).
Suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo saiĐặt \(F\left( x \right) = \int {f\left( x \right){\rm{d}}x} \Rightarrow F’\left( x \right) = f\left( x \right)\). Ta có:
\(\int\limits_0^{{x^2}} {f\left( t \right)} {\rm{d}}t = x\cos \left( {\pi x} \right) \Leftrightarrow \left. {F\left( t \right)} \right|_0^{{x^2}} = x\cos \left( {\pi x} \right) \Leftrightarrow F\left( {{x^2}} \right) – F\left( 0 \right) = x\cos \left( {\pi x} \right)\).
Đạo hàm hai vế ta có:
\(2xf\left( {{x^2}} \right) = \cos \left( {\pi x} \right) – \pi x\sin \left( {\pi x} \right)\).
Chọn x = 2\( \Rightarrow 4f\left( 4 \right) = \cos \left( {2\pi } \right) – 2\pi .\sin \left( {2\pi } \right) \Leftrightarrow f\left( 4 \right) = \frac{1}{4}\).
