Biết rằng tập nghiệm của bất phương trình \(\sqrt{2 x+4}-2 \sqrt{2-x} \geq \frac{6 x-4}{5 \sqrt{x^{2}+1}} \text { là }[a ; b]\) Khi đó giá trị của biểu thức \(P=3 a-2 b\) bằng:
Suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo saiĐiều kiện: \(-2 \leq x \leq 2\) .
Ta có: \(\sqrt{2 x+4}-2 \sqrt{2-x} \geq \frac{6 x-4}{5 \sqrt{x^{2}+1}} \Leftrightarrow \frac{2 x+4-4(2-x)}{\sqrt{2 x+4}+2 \sqrt{2-x}}-\frac{6 x-4}{5 \sqrt{x^{2}+1}} \geq 0\)
\(\begin{aligned} &\Leftrightarrow(6 x-4)\left(\frac{1}{\sqrt{2 x+4}+2 \sqrt{2-x}}-\frac{1}{5 \sqrt{x^{2}+1}}\right) \geq 0\\ &\Leftrightarrow(6 x-4)\left[5 \sqrt{x^{2}+1}-(\sqrt{2 x+4}+2 \sqrt{2-x})\right] \geq 0\,\,\,(1) \end{aligned}\)
Xét hàm số \(f(x)=\sqrt{2 x+4}+2 \sqrt{2-x} \text { với }-2 \leq x \leq 2\)
Ta có \(f^{\prime}(x)=\frac{1}{\sqrt{2 x+4}}-\frac{1}{\sqrt{2-x}}=0 \Leftrightarrow x=-\frac{2}{3}\). Do đó \(f\left(-\frac{2}{3}\right)=2 \sqrt{6} ; f(-2)=4 ; f(2)=2 \sqrt{2}\)
Suy ra \(2 \sqrt{2} \leq f(x) \leq 2 \sqrt{6}<5\) mà \(5 \sqrt{x^{2}+1} \geq 5 \text { nên } 5 \sqrt{x^{2}+1}-(\sqrt{2 x+4}+2 \sqrt{2-x})>0\)
Vậy \((1) \Leftrightarrow 6 x-4 \geq 0 \Leftrightarrow x \geq \frac{2}{3}\) .
Kết hợp với điều kiện ta có tập nghiệm là \(S=\left[\frac{2}{3} ; 2\right]\)
Do đó: \(a=\frac{2}{3}, b=2 \text { suy ra } P=3 a-2 b=-2\)
Câu hỏi liên quan
-
Cho hàm số y = f (x) xác định, liên tục trên đoạn [-2;2] và có đồ thị là đường cong trong hình vẽ bên. Hàm số f (x) đạt cực đại tại điểm nào dưới đây?
-
Hàm số \(y = \frac{1}{3}{x^3} - 2{x^2} + 4x - 1\) có bao nhiêu điểm cực trị?
-
Hàm số \(y = - {x^4} + 2{x^2} + 2\) có bao nhiêu điểm cực trị?
-
Điểm cực tiểu của hàm số \(y = - {x^4} + 4{x^2} + 2\) là:
-
Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để hàm số \(y = x⁸ + (m -1)x⁵ - (m² -1)x⁴ +1 \) đạt cực tiểu taị x=0
-
Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số \(y=\frac{1}{3} x^{3}-m x^{2}+(m+1) x-1\) đạt cực đại tại x=-2?
-
Cho hàm số \(y = {x^3} + 17{x^2} - 24x + 8\). Kết luận nào sau đây là đúng?
-
Cho hàm số y=f(x) xác định, liên tục trên \(\mathbb{R}\backslash{\{-1\}}\) và có bảng biến thiên sau:
Khảng định nào sau đây là đúng?
-
Trong các hàm số sau, hàm số nào chỉ có cực đại mà không có cực tiểu?
-
Số điểm cực đại của hàm số \(f\left( x \right) = {{\rm{x}}^4} + \frac{3}{2}{{\rm{x}}^2} + 1\) là
-
ó bao nhiêu giá tị nguyên của tham số m để hàm số \(y=\frac{1}{3} x^{3}+(m+3) x^{2}+4(m+3) x+m^{3}-m\) đạt
cực trị tại \(x_{1}, x_{2}\) thỏa mãn \(-1<x_{1}<x_{2}\) -
Số điểm cực trị của đồ thị hàm số \(y = – {x^4} + 2{x^2} + 2\) là
-
Hàm số y = f ( x) liên tục trên \(\mathbb{R}\) và có bảng biến thiên dưới đây. Khẳng định nào sau đây là đúng?
-
Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) có bảng biến thiên như sau
.png)
Giá trị cực tiểu của hàm số đã cho bằng
-
Cho hàm số y=f(x) có \(f'\left( x \right) = \left( {1 - x} \right){\left( {x + 2} \right)^2}{\left( {x + 1} \right)^3}\). Điểm cực tiểu của hàm số là
-
Đồ thị hàm số y = ∣x3∣−3x2 + 1 có bao nhiêu điểm cực trị?
-
Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) liên tục trên \(\mathbb{R}\) và có bảng xét dấu \(f’\left( x \right)\) như sau:
Kết luận nào sau đây đúng
-
Cho hàm số y=f(x) có \(f'\left( x \right) = x{\left( {x + 5} \right)^2}\). Điểm cực tiểu của hàm số là
-
Hàm số \(y = {x^4} + 2{x^3} – 2019\) có bao nhiêu điểm cực trị:
-
Cho hàm số y =f(x) có đồ thị trên một khoảng K như hình vẽ bên. Trên K, hàm số có bao nhiêu cực trị?
.png)
