Biết rằng tập nghiệm của bất phương trình \(\sqrt{2 x+4}-2 \sqrt{2-x} \geq \frac{6 x-4}{5 \sqrt{x^{2}+1}} \text { là }[a ; b]\) Khi đó giá trị của biểu thức \(P=3 a-2 b\) bằng:
Suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo saiĐiều kiện: \(-2 \leq x \leq 2\) .
Ta có: \(\sqrt{2 x+4}-2 \sqrt{2-x} \geq \frac{6 x-4}{5 \sqrt{x^{2}+1}} \Leftrightarrow \frac{2 x+4-4(2-x)}{\sqrt{2 x+4}+2 \sqrt{2-x}}-\frac{6 x-4}{5 \sqrt{x^{2}+1}} \geq 0\)
\(\begin{aligned} &\Leftrightarrow(6 x-4)\left(\frac{1}{\sqrt{2 x+4}+2 \sqrt{2-x}}-\frac{1}{5 \sqrt{x^{2}+1}}\right) \geq 0\\ &\Leftrightarrow(6 x-4)\left[5 \sqrt{x^{2}+1}-(\sqrt{2 x+4}+2 \sqrt{2-x})\right] \geq 0\,\,\,(1) \end{aligned}\)
Xét hàm số \(f(x)=\sqrt{2 x+4}+2 \sqrt{2-x} \text { với }-2 \leq x \leq 2\)
Ta có \(f^{\prime}(x)=\frac{1}{\sqrt{2 x+4}}-\frac{1}{\sqrt{2-x}}=0 \Leftrightarrow x=-\frac{2}{3}\). Do đó \(f\left(-\frac{2}{3}\right)=2 \sqrt{6} ; f(-2)=4 ; f(2)=2 \sqrt{2}\)
Suy ra \(2 \sqrt{2} \leq f(x) \leq 2 \sqrt{6}<5\) mà \(5 \sqrt{x^{2}+1} \geq 5 \text { nên } 5 \sqrt{x^{2}+1}-(\sqrt{2 x+4}+2 \sqrt{2-x})>0\)
Vậy \((1) \Leftrightarrow 6 x-4 \geq 0 \Leftrightarrow x \geq \frac{2}{3}\) .
Kết hợp với điều kiện ta có tập nghiệm là \(S=\left[\frac{2}{3} ; 2\right]\)
Do đó: \(a=\frac{2}{3}, b=2 \text { suy ra } P=3 a-2 b=-2\)
Câu hỏi liên quan
-
Hàm số nào sau đây có xCĐ < xCT:
-
Có bao nhiêu số nguyên m <10 để hàm số \(y=\left|x^{3}-m x+1\right|\) có 5 điểm cực trị
-
Tìm tập hợp tất cả giá trị thực của tham số m để hàm số \(y=\frac{1}{3}x^3-x^2+mx\) có cực trị
-
Điểm cực đại của đồ thị hàm số \(y = - {x^4} + 2{x^2} + 2\) là:
-
Cho hàm số \(y=x^{3}-6 x^{2}+4 x-7\) . Gọi hoành độ 2 điểm cực trị của đồ thị hàm số là \(x_{1}, x_{2}\) . Khi đó, giá trị của tổng \(x_{1}+ x_{2}\) là:
-
Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm trong khoảng (a, b) chứa điểm x0 (có thể trừ điểm x0). Tìm mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau:
-
Hàm số \(y = - 3\sqrt[3]{{{x^2}}} + 2\) có bao nhiêu cực đại?
-
Hàm số \(y = {x^3} – 3{x^2} + 3x – 4\) có bao nhiêu điểm cực trị?
-
Số điểm cực đại của hàm số \(f\left( x \right) = 2\sqrt 5 {{\rm{x}}^4}{\rm{ - }}{{\rm{x}}^2} - 1\) là
-
Tập hợp tất cả các giá trị của tham số thực m sao cho hàm số \(y = \frac{{{x^2} + x + {m^2}}}{{x + 1}}\) đạt cực đại tại x = 1 là
-
Đồ thị hàm số \(y = {\left| x \right|^3} - 3{x^2} - 1\) có bao nhiêu điểm cực trị?
-
Cho hàm số \(y = {x^7} - {x^5}\). Khẳng định nào sau đây là đúng
-
Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\), hàm số \(y = f’\left( x \right)\) có đồ thị như hình bên. Hàm số \(g(x) = 2f\left( {\frac{{5\sin x – 1}}{2}} \right) + \frac{{{{(5\sin x – 1)}^2}}}{4} + 3\) có bao nhiêu điểm cực trị trên khoảng \((0;2\pi )\).
.jpg.png)
-
Số điểm cực tiểu của hàm số \(f\left( x \right) = - 2{{\rm{x}}^4} + 5{{\rm{x}}^2}\) là
-
Cho hàm số \(y=(m-1) x^{4}-3 m x^{2}+5\) . Tìm tất cả các giá trị của tham số thực m để hàm số có cực đại mà không có cực tiểu
-
Hàm số nào trong bốn hàm số được liệt kê dưới đây không có cực trị?
-
Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số \(y=\frac{1}{3} x^{3}-m x^{2}+(m+1) x-1\) đạt cực đại tại x=-2?
-
Cho hàm số \(y = {x^3} - 2{x^2} - 1\) (1) và các mệnh đề
(1) Điểm cực trị của hàm số (1) là x = 0 hoặc x = 4/3
(2) Điểm cực trị của hàm số (1) là x = 0 và x = 4/3
(3) Điểm cực trị của đồ thị hàm số (1) là x = 0 và x = 4/3
(4) Cực trị của hàm số (1) là x = 0 và x = 4/3
Trong các mệnh đề trên, số mệnh đề sai là:
-
Có bao nhiêu số nguyên m để hàm số \(y=\mid x^{3}+(2 m-1) x^{2}+\left(2 m^{2}-2 m-9\right) x-2 m^{2}+9|\) có 5 điểm cực trị.
-
Số cực trị của hàm số \(f\left( x \right) = - 4{{\rm{x}}^4} - 2{{\rm{x}}^2} + 4\) là
