Cho hai số thực dương a, b nhỏ hơn 1.Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(P=\log _{a}\left(\frac{4 a b}{a+4 b}\right)+\log _{b}(a b)\)
Suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo sai\(\begin{aligned} &\text { Ta có: } \frac{4 a b}{a+4 b} \leq \frac{4 a b}{2 \sqrt{a .4 b}}=\sqrt{a b} \text { . Vì } 0<a<1 \text { nên } \log _{a}\left(\frac{4 a b}{a+4 b}\right) \geq \log _{a} \sqrt{a b}=\frac{1+\log _{a} b}{2} \text { . }\\ &\text { Khi đó: } P=\log _{a}\left(\frac{4 a b}{a+4 b}\right)+\log _{b}(a b) \geq \frac{1+\log _{a} b}{2}+1+\log _{b} a \Rightarrow P \geq \frac{3}{2}+\left(\frac{1}{2} \log _{a} b+\log _{b} a\right)\\ &\text { Suy ra } P \geq \frac{3}{2}+2 \sqrt{\frac{1}{2} \log _{a} b \cdot \log _{b} a}=\frac{3}{2}+\sqrt{2}=\frac{3+2 \sqrt{2}}{2} \text { . }\\ &\text { Dấu "=" xảy ra khi: }\left\{\begin{array}{l} a=4 b \\ \frac{1}{2} \log _{a} b=\log _{b} a \end{array}\right. \text { . } \end{aligned}\)
Câu hỏi liên quan
-
Cho hai số thực , phân biệt thỏa mãn \(x, y \in(0 ; 2018)\)
. Đặt \(S=\frac{1}{y-x}\left(\ln \frac{y}{2018-y}-\ln \frac{x}{2018-x}\right)\). Mệnh đề nào dưới đây đúng?
-
Dân số Việt Nam năm 2015 là 91,71 triệu người và tỉ lệ tăng dân số là 1,08%. Hỏi nếu vẫn giữ nguyên tỉ lệ tăng dân số hàng năm này thì năm 2020 dân số Việt Nam sẽ là bao nhiêu (làm tròn kết quả đến hàng chục nghìn) ?
-
Một sinh viên được gia đình gửi tiết kiệm số tiền vào ngân hàng với số tiền là 20 triệu đồng theo mức kì hạn 1 tháng với lãi suất tiết kiệm là 0,4%/tháng. Nếu mỗi tháng anh sinh viện rút ra một số tiền như nhau vào ngày ngân hàng tính lãi thì hàng tháng anh ta rút ra bao nhiêu tiền để sau 5 năm, số tiền vừa hết?
-
Đạo hàm của hàm số \(f(x)=\sqrt{\ln (\ln x)}\) là:
-
Tập xác định của hàm số \(y=\log _{2} \frac{x+3}{2-x}\) là?
-
Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số \(y=\frac{1}{\sqrt{2 m+1-x}}+\log _{3} \sqrt{x-m}\) xác định trên (2;3)?
-
Tính đạo hàm của hàm số \(\displaystyle y = {\log _8}({x^2} - 3x - 4)\).
-
Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để phương trình \(\begin{aligned} &3^{2 x-1}+2 m^{2}-m-3=0 \end{aligned}\) có nghiệm.
-
Tính đạo hàm của hàm số \(y=\frac{x+1}{4^{x}}\)
-
Cho hàm số \(y=\log _{2}(2 x)\) . Khi đó, hàm số \(y=\left|\log _{2}(2 x)\right|\) có đồ thị là hình nào trong bốn hình được liệt kê ở bốn phương án A, B, C, D dưới đây:
-
Tìm giá trị nhỏ nhất m của hàm số\(f(x)=\ln \left(x+\sqrt{x^{2}+e^{2}}\right)\) trên đoạn [0;e]?
-
. Đạo hàm của hàm số \(y=\log _{3}(4 x+1)\) là?
-
Đạo hàm của hàm số \(\displaystyle y = \frac{{{e^x} - {e^{ - x}}}}{x}\) là:
-
\(\begin{aligned} &\text { Biết } a=\log _{30} 10, b=\log _{30} 150 \text { và } \log _{2000} 15000=\frac{x_{1} a+y_{1} b+z_{1}}{x_{2} a+y_{2} b+z_{2}} \text { với } x_{1} ; \mathrm{y}_{1} ; \mathrm{z}_{1} ; x_{2} ; \mathrm{y}_{2} ; \mathrm{z}_{2} \text { là các số }\\ &\text { nguyên, tính } S=\frac{x_{1}}{x_{2}} \text { . } \end{aligned}\)
-
Cho hàm số phù hợp với bảng biến thiên sau. Phát biểu nào sau đây là đúng?
.png)
-
Với a, b, c >1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(P=\log _{a}(b c)+3 \log _{b}(c a)+4 \log _{c}(a b)\)
-
Cho x, y, z là ba số thực khác 0 thỏa mãn \(2^{x}=5^{y}=10^{-z} . \text { Tính } P=\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\)
-
Tìm \(\displaystyle x\), biết \(\displaystyle {9^x} = \frac {1}{3}\).
-
Tìm giá trị lớn nhất M của hàm số \(y\; = \;{\left( {x + 1} \right)^{\frac{3}{2}}}\) trên đoạn [3; 15].
-
Cho \(f(x)=a \ln \left(x+\sqrt{x^{2}+1}\right)+b \sin x+6 \quad \text { với } a, b \in \mathbb{R} \text { . Biết } f(\log (\log \mathrm{e}))=2\) . Tính \( f(\log (\ln \mathrm{10}))\)
