Cho hàm số \(f\left( x \right)\) có đạo hàm trên thỏa mãn \(\left| {f\left( {x + h} \right) – f\left( {x – h} \right)} \right| \le {h^2}\) với mọi , h > 0. Đặt \(g\left( x \right) = {\left[ {x + f’\left( x \right)} \right]^{2019}} + {\left[ {x + f’\left( x \right)} \right]^{29 – m}} – \left( {{m^4} – 29{m^2} + 100} \right).{\sin ^2}x – 1\) với tham số m. Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị nguyên của m < 27 sao cho \(g\left( x \right)\) đạt cực tiểu tại x = 0. Tổng bình phương các phần tử của S là
Suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo saiVới mọi và h > 0, ta có
\(\left| {f\left( {x + h} \right) – f\left( {x – h} \right)} \right| \le {h^2} \Leftrightarrow \frac{{\left| {f\left( {x + h} \right) – f\left( x \right) + f\left( x \right) – f\left( {x – h} \right)} \right|}}{h} \le h\)
\(\left| {\frac{{f\left( {x + h} \right) – f\left( x \right)}}{h} + \frac{{f\left( {x – h} \right) – f\left( x \right)}}{{ – h}}} \right| \le h\).
Cho \(h \to 0\), ta được \(f’\left( x \right) = 0\). Khi đó \(g\left( x \right) = {x^{2019}} + {x^{29 – m}} – \left( {{m^4} – 29{m^2} + 100} \right).{\sin ^2}x – 1\)
\(g’\left( x \right) = 2019{x^{2018}} + \left( {29 – m} \right){x^{28 – m}} – \left( {{m^4} – 29{m^2} + 100} \right)\sin 2x \Rightarrow g’\left( 0 \right) = 0\)
Xét \(g”\left( x \right) = 2019.2018{x^{2017}} + \left( {29 – m} \right)\left( {28 – m} \right){x^{27 – m}} – 2\left( {{m^4} – 29{m^2} + 100} \right)\cos 2x\)
\( \Rightarrow g”\left( 0 \right) = – 2\left( {{m^4} – 29{m^2} + 100} \right)\)
*) Nếu \(g”\left( 0 \right) = 0 \Leftrightarrow {m^4} – 29{m^2} + 100 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m = \pm 5\\m = \pm 2\end{array} \right.\)
+ Nếu m = 5 thì \(g’\left( x \right) = 2019{x^{2018}} + 24{x^{23}} = {x^{23}}\left( {2019{x^{1995}} + 24} \right)\) đổi dấu từ âm sang dương khi qua x = 0 nên thỏa mãn yêu cầu.
+ Nếu m = – 5 thì \(g’\left( x \right) = 2019{x^{2018}} + 34{x^{33}} = {x^{33}}\left( {2019{x^{1985}} + 34} \right)\) đổi dấu từ âm sang dương khi qua x = 0 nên thỏa mãn yêu cầu.
+ Nếu m = 2 thì \(g’\left( x \right) = 2019{x^{2018}} + 27{x^{26}} = {x^{26}}\left( {2019{x^{1992}} + 27} \right)\) không đổi dấu khi qua x = 0 nên loại.
+ Nếu m = – 2 thì \(g’\left( x \right) = 2019{x^{2018}} + 31{x^{30}} = {x^{30}}\left( {2019{x^{1988}} + 31} \right)\) không đổi dấu khi qua x = 0 nên loại.
*) Nếu \(g”\left( x \right) \ne 0\) thì \(g\left( x \right)\) đạt cực tiểu tại \(x = 0 \Leftrightarrow g”\left( 0 \right) > 0 \Leftrightarrow – 2\left( {{m^4} – 29{m^2} + 100} \right) > 0\)
\(\Leftrightarrow {m^4} – 29{m^2} + 100 < 0 \Leftrightarrow 4 < {m^2} < 25\). Vì m nguyên nên \(m \in \left\{ { – 4; – 3;3;4} \right\}\)
Vậy \(S = \left\{ { – 5; – 4; – 3;3;4;5} \right\}\). Do đó tổng bình phương các phần tử của S bằng 100.
Câu hỏi liên quan
-
Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số \(y=(m+1) x^{4}-m x^{2}+\frac{3}{2}\) chỉ có cực tiểu mà không có cực đại.
-
Hàm số \(y = \frac{1}{3}{x^3} + 2{x^2} + 3x – 1\) có các điểm cực trị là
-
Tính theo m khoảng cách giữa điểm cực đại và điểm cực tiểu ( nếu có) của đồ thị hàm số: \(y = \frac{1}{3}{x^3} - m{x^2} - x + m + 1\)
-
Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số: \(y = \frac{1}{3}{x^3} + m{x^2} + \left( {m + 6} \right)x + m\) có cực đại và cực tiểu
-
Cho hàm số y =f(x) có đồ thị như hình dưới đây
Số điểm cực trị của đồ thị hàm số \(y=|f(x)|\) là
-
Tìm tất cả các giá trị của tham số m để đồ thị hàm số \(y = {x^3} - 3\left( {m + 1} \right){x^2} + 12mx - 3m + 4\left( C \right)\) có hai điểm cực trị là A và B sao cho hai điểm này cùng với điểm \(C\left( { - 1; - \frac{9}{2}} \right)\) lập thành tam giác nhận gốc tọa độ O làm trọng tâm
-
Tìm các giá trị của tham sốm để đồ thị hàm số: \(y=x^{4}-2 m^{2} x^{2}+1\) có ba điểm cực trị là ba đỉnh của một tam giác vuông cân.
-
Số cực trị của hàm số \(f\left( x \right) = - 4{{\rm{x}}^4}{\rm{ + 3}}{{\rm{x}}^2} - 1\) là
-
Điểm cực tiểu của đồ thị hàm số là:
-
Cho hàm số \(y=x^{4}-5 x^{2}+3 \text { đạ }\) đạt cực trị tại \(x_{1}, x_{2}, x_{3}\). Khi đó, giá trị của tích \(x_{1} x_{2} x_{3}\) là:
-
Cho hàm số \(y = \frac{{x + 1}}{{{x^2} + 8}}\). Mệnh đề nào dưới đây là đúng?
-
Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hàm số y = - x3 + 2x2 + mx đạt cực đại tại x = 1
-
Hàm số nào sau đây không có cực trị?
-
Tìm điểm cực tiểu của hàm số \(y = \frac{1}{3}{x^3} – 2{x^2} + 3x + 1\)
-
Số điểm cực tiểu của hàm số \(f\left( x \right) = \frac{1}{5}{{\rm{x}}^4} - \frac{4}{3}{{\rm{x}}^2} + 2\) là
-
Số điểm cực tiểu của hàm số \(f(x)=\frac{1}{4} x^{4}+\frac{1}{2} x^{2}+3\) là
-
Khẳng định nào là đúng trong các khẳng định sau
-
Số cực trị của hàm số \(f\left( x \right) = - \sqrt 2 {{\rm{x}}^4} - 4{{\rm{x}}^2} - 6\) là
-
Cho hàm số y = f(x) có bảng biến thiên như sau:
.png)
Phát biểu nào sau đây đúng?
-
Hàm số y =f(x) có đồ thị như hình vẽ. Khẳng định nào sau đây đúng?
