Cho hàm số \(f\left( x \right)\) có đạo hàm trên thỏa mãn \(\left| {f\left( {x + h} \right) – f\left( {x – h} \right)} \right| \le {h^2}\) với mọi , h > 0. Đặt \(g\left( x \right) = {\left[ {x + f’\left( x \right)} \right]^{2019}} + {\left[ {x + f’\left( x \right)} \right]^{29 – m}} – \left( {{m^4} – 29{m^2} + 100} \right).{\sin ^2}x – 1\) với tham số m. Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị nguyên của m < 27 sao cho \(g\left( x \right)\) đạt cực tiểu tại x = 0. Tổng bình phương các phần tử của S là
Suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo saiVới mọi và h > 0, ta có
\(\left| {f\left( {x + h} \right) – f\left( {x – h} \right)} \right| \le {h^2} \Leftrightarrow \frac{{\left| {f\left( {x + h} \right) – f\left( x \right) + f\left( x \right) – f\left( {x – h} \right)} \right|}}{h} \le h\)
\(\left| {\frac{{f\left( {x + h} \right) – f\left( x \right)}}{h} + \frac{{f\left( {x – h} \right) – f\left( x \right)}}{{ – h}}} \right| \le h\).
Cho \(h \to 0\), ta được \(f’\left( x \right) = 0\). Khi đó \(g\left( x \right) = {x^{2019}} + {x^{29 – m}} – \left( {{m^4} – 29{m^2} + 100} \right).{\sin ^2}x – 1\)
\(g’\left( x \right) = 2019{x^{2018}} + \left( {29 – m} \right){x^{28 – m}} – \left( {{m^4} – 29{m^2} + 100} \right)\sin 2x \Rightarrow g’\left( 0 \right) = 0\)
Xét \(g”\left( x \right) = 2019.2018{x^{2017}} + \left( {29 – m} \right)\left( {28 – m} \right){x^{27 – m}} – 2\left( {{m^4} – 29{m^2} + 100} \right)\cos 2x\)
\( \Rightarrow g”\left( 0 \right) = – 2\left( {{m^4} – 29{m^2} + 100} \right)\)
*) Nếu \(g”\left( 0 \right) = 0 \Leftrightarrow {m^4} – 29{m^2} + 100 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m = \pm 5\\m = \pm 2\end{array} \right.\)
+ Nếu m = 5 thì \(g’\left( x \right) = 2019{x^{2018}} + 24{x^{23}} = {x^{23}}\left( {2019{x^{1995}} + 24} \right)\) đổi dấu từ âm sang dương khi qua x = 0 nên thỏa mãn yêu cầu.
+ Nếu m = – 5 thì \(g’\left( x \right) = 2019{x^{2018}} + 34{x^{33}} = {x^{33}}\left( {2019{x^{1985}} + 34} \right)\) đổi dấu từ âm sang dương khi qua x = 0 nên thỏa mãn yêu cầu.
+ Nếu m = 2 thì \(g’\left( x \right) = 2019{x^{2018}} + 27{x^{26}} = {x^{26}}\left( {2019{x^{1992}} + 27} \right)\) không đổi dấu khi qua x = 0 nên loại.
+ Nếu m = – 2 thì \(g’\left( x \right) = 2019{x^{2018}} + 31{x^{30}} = {x^{30}}\left( {2019{x^{1988}} + 31} \right)\) không đổi dấu khi qua x = 0 nên loại.
*) Nếu \(g”\left( x \right) \ne 0\) thì \(g\left( x \right)\) đạt cực tiểu tại \(x = 0 \Leftrightarrow g”\left( 0 \right) > 0 \Leftrightarrow – 2\left( {{m^4} – 29{m^2} + 100} \right) > 0\)
\(\Leftrightarrow {m^4} – 29{m^2} + 100 < 0 \Leftrightarrow 4 < {m^2} < 25\). Vì m nguyên nên \(m \in \left\{ { – 4; – 3;3;4} \right\}\)
Vậy \(S = \left\{ { – 5; – 4; – 3;3;4;5} \right\}\). Do đó tổng bình phương các phần tử của S bằng 100.
Câu hỏi liên quan
-
Tìm các giá trị của tham số m để hàm số \(y=m x^{4}+(m-1) x^{2}+m\) chỉ có đúng một cực trị?
-
Cho hàm số y=f(x) liên tục trên R và có đồ thị như hình vẽ. Hỏi đồ thị hàm số y=|f(x)| có tất cả bao nhiêu điểm cực trị?
.png)
-
Cho hàm số \(y = – {x^4} + 2017{x^2} – 2018\). Số điểm cực trị của đồ thị hàm số là
-
Số cực trị của hàm số \(f\left( x \right) = - 2{{\rm{x}}^4} + 5{{\rm{x}}^2}\) là
-
Tìm giá trị cực đại yCĐ của hàm số \(y=-x^{4}+2 x^{2}-5\)
-
Cho hàm số y=f(x) xác định trên \(\mathbb{R}\)và hàm số y=f'(x) có đồ thị như hình vẽ. Tìm số điểm cực trị của hàm số \(y=f\left(x^{2}-3\right)\)
-
Cho hàm số y=f(x) có \(f'\left( x \right) = {\left( {x + 1} \right)}^{2022}{\left( {x + 2} \right)}.x{\left( {x - 1} \right)^2}\). Điểm cực đại của hàm số là
-
Cho hàm số \(y=x^{4}-5 x^{2}+3 \text { đạ }\) đạt cực trị tại \(x_{1}, x_{2}, x_{3}\). Khi đó, giá trị của tích \(x_{1} x_{2} x_{3}\) là:
-
Cho hàm số y = x4-2mx2+2 với m là tham số thực. Có bao nhiêu giá trị nguyên của m để đồ thị hàm số có ba điểm cực trị A; B; C thỏa mãn OA.OB.OC = 12?
-
Điều kiện để hàm số \(y=a x^{4}+b x^{2}+c \quad(a \neq 0)\) có 3 điểm cực trị là:
-
Trong các hàm số sau, hàm số nào chỉ có cực đại mà không có cực tiểu?
-
Cho hàm số y = f(x) có đồ thị là hình vẽ bên. Trong các khẳng định sau, khẳng định nào sai?
-
Cho hàm số \(y=x^{7}-x^{5}\). Khẳng định nào sau đây là đúng
-
Số điểm cực đại của hàm số \(f\left( x \right) = - 5{{\rm{x}}^4} - 2{{\rm{x}}^2} + 3\) là
-
Hàm số nào sau đây không có cực trị?
-
Cho hàm số y = x3-3x2. Tìm tất cả các giá trị thực tham số m để đường thẳng đi qua 2 điểm cực trị của đồ thị C tạo với đường thẳng x+ my+ 3 = 0 một góc α biết \(\cos \alpha = \frac{4}{5}\).
-
Tìm điểm cực tiểu của đồ thị hàm số \(y = {x^3} + 3{x^2} – 24x – 26\).
-
Điểm cực đại của đồ thị hàm số y = x3 + 3x2 + 2 là
-
Cho hàm số y=f(x) có bảng biến thiên như sau.
Đồ thị hàm số \(y=|f(x-2017)+2018|\) có bao nhiêu điểm cực trị?
-
Tìm tọa độ điểm cực tiểu M của đồ thị hàm số \(y = {x^3} – 3x + 2\).
