Cho hàm số \(f(x) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {2{x^3} - x}&{{\rm{ khi }}x \ge 1}\\ { - 3x + 2}&{{\rm{ khi }}x < 1} \end{array}} \right.\). Biết \(I=\int\limits_{\frac{\pi }{4}}^{\frac{\pi }{3}}{\frac{f\left( \tan x \right)}{{{\cos }^{2}}x}}dx+\int\limits_{0}^{\sqrt{\sqrt{e}-1}}{\frac{x.f\left( \ln \left( {{x}^{2}}+1 \right) \right)}{{{x}^{2}}+1}}dx=\frac{a}{b}\)với \(\frac{a}{b}\) là phân số tối giản. Giá trị của tổng \(a+b\) bằng
Suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo sai\(I=\int\limits_{\frac{\pi }{4}}^{\frac{\pi }{3}}{\frac{f\left( \tan x \right)}{{{\cos }^{2}}x}}dx+\int\limits_{0}^{\sqrt{\sqrt{e}-1}}{\frac{x.f\left( \ln \left( {{x}^{2}}+1 \right) \right)}{{{x}^{2}}+1}}dx={{I}_{1}}+{{I}_{2}}\)
Đặt \(t=\tan x\Rightarrow dt=\frac{1}{{{\cos }^{2}}x}dx\). Đổi cận \(\left\{ \begin{array}{l} x = \frac{\pi }{4} \Rightarrow t = 1\\ x = \frac{\pi }{3} \Rightarrow t = \sqrt 3 \end{array} \right.\).
\(\Rightarrow {{I}_{1}}=\int\limits_{1}^{\sqrt{3}}{f\left( t \right)dt}=\int\limits_{1}^{\sqrt{3}}{f\left( x \right)dx}\)
Đặt \(t=\ln \left( {{x}^{2}}+1 \right)\Rightarrow dt=\frac{2x}{{{x}^{2}}+1}dx\Rightarrow \frac{x}{{{x}^{2}}+1}dx=\frac{1}{2}dt\). Đổi cận \(\left\{ \begin{array}{l} x = 0 \Rightarrow t = 0\\ x = \sqrt {\sqrt e - 1} \Rightarrow t = \frac{1}{2} \end{array} \right.\).
\(\Rightarrow {{I}_{2}}=\frac{1}{2}\int\limits_{0}^{\frac{1}{2}}{f\left( t \right)dt}=\frac{1}{2}\int\limits_{0}^{\frac{1}{2}}{f\left( x \right)dx}\)
Do \(f(x) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {2{x^3} - x}&{{\rm{ khi }}x \ge 1}\\ { - 3x + 2}&{{\rm{ khi }}x < 1} \end{array}} \right.\)
\(\Rightarrow I={{I}_{1}}+{{I}_{2}}=\int\limits_{1}^{\sqrt{3}}{\left( 2{{x}^{3}}-x \right)dx+}\frac{1}{2}\int\limits_{0}^{\frac{1}{2}}{\left( -3x+2 \right)dx=}\frac{53}{16}\Rightarrow a=53,\ b=16\).
Vậy \(a+b=69\)
