Cho hàm số y=f(x) có đạo hàm và liên tục trên đoạn [-1;1], thỏa mãn \(f(x)>0, \forall x \in \mathbb{R}\) và \(f^{\prime}(x)+2 f(x)=0\). Biết \(f(1)=1, \text { tính } f(-1)\)?

Cho \(\mathop \smallint \nolimits_0^3 f\left( x \right)dx = a,\;\mathop \smallint \nolimits_2^3 f\left( x \right)dx = b\). Khi đó \(\mathop \smallint \nolimits_0^2 f\left( x \right)dx\) bằng:

Cho F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) . Khi đó hiệu số \(F(0)-F(1)\) bằng

Cho hàm số \(f(x) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {\frac{1}{2}x + 2}&{{\rm{ khi 0}} \le {\rm{x < 2}}}\\ { - x + 7}&{{\rm{ khi 2}} \le x < 5} \end{array}} \right.\). Biết \(I=\int\limits_{1}^{{{e}^{2}}}{\frac{f\left( \ln x \right)}{x}}dx+\int\limits_{\sqrt{3}}^{2\sqrt{6}}{x.f\left( \sqrt{{{x}^{2}}+1} \right)}dx=\frac{a}{b}\) với \(\frac{a}{b}\) là phân số tối giản. Giá trị của hiệu \(a-b\) bằng

Cho hàm số f(x) liên tục trên đoạn [0; 10] thỏa mãn \(\mathop \smallint \nolimits_0^{10} f\left( x \right)dx = 7,\mathop \smallint \nolimits_2^6 f\left( x \right)dx = 3\). Tính \(P = \mathop \smallint \nolimits_0^2 f\left( x \right)dx + \mathop \smallint \nolimits_6^{10} f\left( x \right)dx\)

Gọi (H ) là hình phẳng giới hạn bởi các đồ thị hàm số y = tan x , trục hoành và các đường thẳng \(x=0, x=\frac{\pi}{4}\) Quay (H ) xung quanh trục Ox ta được khối tròn xoay có thể tích bằng
 

Tích phân \(I=\int_{0}^{1} \frac{1}{x^{2}-x-2}\) có giá trị bằng

Giá trị của tích phân \(\int\limits_{0}^{1}(2 x+1)^{5} d x\) là

Diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của hàm số y = f₁(x), y = f₂(x) liên tục và hai đường thẳng x = a, x = b  x = a, x = b được tính theo công thức:

Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường \(y=x^{2}, y=-\frac{1}{3} x+\frac{4}{3}\) và trục hoành.

Tính \(\displaystyle \int\limits_0^{\frac{\pi }{4}} {\cos 2x} .{\cos ^2}xdx\)

Giá trị của tích phân \(I=\int\limits_{0}^{\frac{\pi}{2}} \cos ^{2} x \cos 2 x d x\) là

Tính thể tích khối tròn xoay sinh ra khi quay quanh trục Ox hình phẳng giới hạn bời hai đồ thị y = x²− 4x + 6 và y = −x²−2x + 6

Cho hàm số f(x) có đạo hàm trên R và thỏa mãn f(2016) = a, f(2017) = b, \(\left( {a;\;b \in R} \right)\). Giá trị \(I = \mathop \smallint \nolimits_{2017}^{2016} 2015f'\left( x \right).{f^{2014}}\left( x \right)dx\) bằng:

Tích phân \(I = \mathop \smallint \nolimits_0^1 x{\left( {1 - x} \right)^{19}}dx\) bằng

Một vật chuyển động trong 4 giờ với vân tốc v (km/h) phụ thuộc vào thời gian t (h) có đồ thị vận tốc như hình bên. Trong khoảng thời gian 3 giờ kể từ khi bắt đầu chuyển động, đồ thị đó là một phần của parabol có đỉnh I(2;9) với trục đối xứng song song với trục tung, khoảng thời gian còn lại đồ thị là một đoạn thẳng song song với trục hoành. Tính quãng đường s mà vật di chuyển được trong 4 giờ đó được :

Giá trị của tích phân \(% MathType!MTEF!2!1!+- % feaahqart1ev3aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn % hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr % 4rNCHbGeaGqiVu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq-Jc9 % vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0-yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr-x % fr-xb9adbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaGaamysaiabg2 % da9maapehabaGaamiEaiGacogacaGGVbGaai4CamaaCaaaleqabaGa % aGOmaaaakiaadIhacaqGKbGaamiEaaWcbaGaaGimaaqaamaalaaaba % GaeqiWdahabaGaaGOmaaaaa0Gaey4kIipaaaa!4517! I = \int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {x{{\cos }^2}x{\rm{d}}x} \) được biểu diễn dưới dạng \(% MathType!MTEF!2!1!+- % feaahqart1ev3aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn % hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr % 4rNCHbGeaGqiVu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq-Jc9 % vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0-yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr-x % fr-xb9adbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaGaamyyaiaac6 % cacqaHapaCdaahaaWcbeqaaiaaikdaaaGccqGHRaWkcaWGIbaaaa!3C05! a.{\pi ^2} + b\) \((a,b \in Q)\).Khi đó tích a.b bằng

Tính \(I=\int_{a}^{b} \frac{a-x^{2}}{\left(a+x^{2}\right)^{2}} \mathrm{d} x(\text { với } a, b\) là các số thực dương cho trước).

Tính thể tích khối tròn xoay được tạo thành khi quay hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số\(y=3 x-x^{2}\) và trục hoành, quanh trục hoành.
 

Tích phân \(I = \mathop \smallint \nolimits_0^1 \left( {3{x^2} + 2x - 1} \right)dx\) bằng

Giá trị của tích phân: \(I=\int\limits_{0}^{\pi} \frac{x \sin x}{1+\cos ^{2} x} d x\) là