Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy \(ABCD\) là hình thoi cạnh \(a\), \(\widehat{D}={{60}^{0}}\) và \(SA\) vuông góc với \(\left( ABCD \right)\). Biết thể tích của khối chóp \(S.ABCD\) bằng \(\frac{{{a}^{3}}}{2}\). Tính khoảng cách \(k\) từ \(A\) đến mặt phẳng \(\left( SBC \right)\).
Suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo sai.png)
Diện tích đáy \({{S}_{ABCD}}=\frac{{{a}^{2}}\sqrt{3}}{2}\)
\(V=\frac{1}{3}B.h=\frac{1}{3}B.SA\Rightarrow SA=\frac{3.\frac{{{a}^{3}}}{2}}{\frac{{{a}^{2}}\sqrt{3}}{2}}=a\sqrt{3}\)
\(\left. \begin{matrix} BC\bot AM \\ BC\bot SA \\ \end{matrix} \right\}\Rightarrow BC\bot \left( SAM \right)\text{ }\left( 1 \right)\)
\(BC\subset \left( SBC \right)\text{ }\left( 2 \right)\)
Từ \(\left( 1 \right)\) và \(\left( 2 \right)\Rightarrow \left( SAM \right)\bot \left( SBC \right)\)
\(\left( SAM \right)\bigcap \left( SBC \right)=SM\). Kẻ \(AH\bot SM\) \(\Rightarrow AH=d\left( A,\left( SBC \right) \right)\)
Xét \(\Delta SAM\) vuông tại \(A\). Ta có
\(\frac{1}{A{{H}^{2}}}=\frac{1}{S{{A}^{2}}}+\frac{1}{A{{M}^{2}}}=\frac{1}{3{{a}^{2}}}+\frac{4}{3{{a}^{2}}}=\frac{5}{3{{a}^{2}}}\)\(\Rightarrow A{{H}^{2}}=\frac{3{{a}^{2}}}{5}\Rightarrow AH=k=a\sqrt{\frac{3}{5}}\)
