Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thang vuông tại A và B , \(A B=B C=a, A D=2 a\) , cạnh bên SA vuông góc với mặt phẳng đáy và SA =a . Gọi M , N lần lượt là trung điểm của SB , CD . Tính cosin của góc giữa MN và (SAC)?
Suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo sai
Chọn hệ trục Oxyz như hình vẽ, với \(O \equiv A\) . Tọa độ các đỉnh của hình chóp là : \(: A(0 ; 0 ; 0), B(a ; 0 ; 0), C(a ; a ; 0), D(0 ; 2 a ; 0), S(0 ; 0 ; a)\)
\(\begin{aligned} &\Rightarrow M\left(\frac{a}{2} ; 0 ; \frac{a}{2}\right), N\left(\frac{a}{2} ; \frac{3 a}{2} ; 0\right)\\ &\text { Ta có: }-\frac{1}{a} \overrightarrow{S A}=(0 ; 0 ; 1)=\vec{u} ; \frac{1}{a} \overrightarrow{S C}=(1 ; 1 ;-1)=\vec{v}\\ &\text { Một véc to pháp tuyến cůa mặt phẳng }(S A C) \text { là } \vec{n}=[\vec{u}, \vec{v}]=(-1 ; 1 ; 0) \text { . }\\ &\text { Lại có: } \frac{2}{a} \overrightarrow{M N}=(0 ; 3 ;-1)=\vec{w} \text { . } \end{aligned}\)
Gọi \(\alpha\) là góc giữa MN và (SAC) ta có: \(\sin \alpha=\frac{|\vec{n} \cdot \vec{w}|}{|\vec{n}| \cdot|\vec{w}|}=\frac{3}{2 \sqrt{5}} \Rightarrow \cos \alpha=\frac{\sqrt{55}}{10}\)
