Cho hình lập phương ABCD.A’B’CD’ cạnh a. Trên cạnh AA’ kéo dài về phía A’ lấy điểm M trên cạnh BC kéo dài về phía C lấy điểm N sao cho MN cắt cạnh C’D’ . Tính giá trị nhỏ nhất của MN?
Suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo sai.png)
Đây là một bài toán sử dụng phương pháp tọa độ hóa. Đối với việc tọa độ hóa. Đối với việc tọa độ hóa này việc quan trọng nhất đó là sự cẩn thận và chính xác.
Trọn hệ trục tọa độ Axyz với \(A(0;0;0);B(a;0;0);A'(0;0;a);D(0;a;0).\)
Gọi \(M(0;0;m)\) và \(N(a;n;0)\). Ta có \((ADD'A')//(BCC'C')\)
\(\left( MD'NC \right)\) cắt \(\left( ADD'A' \right)\) theo giao tuyến \(MD'\) và cắt \((BCC'B')\) theo giao tuyến \(CN\) do đó \(MD'//CN\)
Lại có \(\overrightarrow{MD'}=(0;a;a-m);\overrightarrow{NC'}=(0;a-n;a)\)
Suy ra \(\frac{a}{a-n}=\frac{a-m}{a}\Rightarrow m=\frac{an}{n-a}\)
Có \(M{{N}^{2}}=A{{B}^{2}}+B{{N}^{2}}+A{{M}^{2}}={{a}^{2}}+{{m}^{2}}+{{n}^{2}}\)
\(\begin{align} & \Leftrightarrow M{{N}^{2}}={{\left( \frac{an}{n-a} \right)}^{2}}+{{n}^{2}}+{{a}^{2}}={{\left( \frac{{{n}^{2}}-an+{{a}^{2}}}{n-a} \right)}^{2}} \\ & \Leftrightarrow MN=\frac{{{n}^{2}}-an+{{a}^{2}}}{n-a} \\ \end{align}\)
Xét hàm số \(f(n)=\frac{{{n}^{2}}-an+{{a}^{2}}}{n-a}\) trên \(\left[ 0;+\infty \right)\)
Ta được MN đạt giá trị nhỏ nhất bằng 3a khi \(n=2a\)
