Cho khối hộp \(ABCD.A'B'C'D'\) có tất cả các cạnh bên bằng \(a\) và các góc \(A'AB,BDA,A'AD\) đều bằng \(\alpha \left( {{0}^{0}}<\alpha <{{90}^{0}} \right).\) Tính thể tích \(V\) của khối hộp.
Suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo sai.png)
Dựng \(A'H\bot AC;A'K\bot AD\Rightarrow \Delta A'BD\) cân tại
Ta có \(\left\{ \begin{array}{l} A'O \bot BD\\ AC \bot BD \end{array} \right. \Rightarrow BD \bot \left( {A'AC} \right) \Rightarrow BD \bot AH \Rightarrow AH \bot \left( {ABCD} \right) \Rightarrow HK \bot AD\)
Đặt \(\overset\frown{A'AO}=\beta .\Delta HAA'\) vuông tại \(H\Rightarrow c\text{os}\beta \text{=}\frac{AH}{AA'}\)
\(ABCD\) là hình thoi \(\Rightarrow AC\) là phân giác góc \(\widehat{BAD}=\alpha ,\Delta KAH\) vuông tại K
\(\begin{align} & \Rightarrow c\text{os}\frac{\alpha }{2}=\frac{AK}{AH}\Rightarrow c\text{os}\beta \text{.}c\text{os}\frac{\alpha }{2}=\frac{AH}{AA'}.\frac{AK}{AH}=\frac{AK}{AA'}=c\text{os}\alpha \\ & \Rightarrow c\text{os}\beta =\frac{c\text{os}\alpha }{c\text{os}\frac{\alpha }{2}}\Rightarrow A'H=AA'.\sin \beta =a.\sin \beta \Rightarrow A'H=a\sqrt{1-\frac{\text{co}{{\text{s}}^{2}}\alpha }{c\text{o}{{\text{s}}^{2}}\frac{\alpha }{2}}}=\frac{a}{c\text{os}\frac{\alpha }{2}}\sqrt{c\text{o}{{\text{s}}^{2}}\frac{\alpha }{2}-\text{co}{{\text{s}}^{2}}\alpha } \\ \end{align}\)
Do đó ta có: \({{V}_{ABCD.A'B'C'D'}}={{S}_{ABCD}}.A'H={{a}^{2}}.\sin \alpha .\frac{a}{\text{cos}\frac{\alpha }{2}}\sqrt{c\text{o}{{\text{s}}^{2}}\frac{\alpha }{2}-\text{co}{{\text{s}}^{2}}\alpha }\)
\(=2{{a}^{3}}\sin \frac{\alpha }{2}\sqrt{\text{co}{{\text{s}}^{2}}\frac{a}{2}-c\text{o}{{\text{s}}^{2}}\alpha }.\)
Câu hỏi liên quan
-
Khi tăng độ dài các cạnh của một khối chóp lên 2 lần thì thể tích của khối chóp thay đổi như thà nào?
-
Cho khối tứ diện đều ABCD có cạnh bằng a. Gọi B’, C’ lần lượt là trung điểm của các cạnh AB và AC. Tính thể tích V của khối tứ diện AB’C’D theo a
-
Cho khối lăng trụ có diện tích đáy bằng \(3{a^2}\) và khoảng cách giữa hai đáy bằng a. Tính thể tích V của khối lăng trụ đã cho.
-
Thể tích của khối lăng trụ có khoảng cách giữa một đường thẳng bất kì của đáy này tới một đường thẳng bất kì của đáy kia bằng h và diện tích đáy bằng B là
-
Cho hình hộp ABCD.A'B'C'D'. Gọi E, F tương ứng là trung điểm của các cạnh A’A, C’C. Gọi M = (D'E) ∩ (DA), N = (D'F) ∩ (DC). Tính tỉ số giữa thể tích hình chóp D’.DMN và thể tích hình hộp ABCD.A'B'C'D'
-
Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a. Cạnh bên SA vuông góc với mặt phẳng đáy, cạnh bên SD tạo với mặt phẳng (SAB) một góc bằng 300 .Thể tích của khối chóp đã cho bằng
-
Cho hình chóp tam giác S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại A, SA vuông góc với đáy và AB = a, AC = 2a,SA = 3a. Tính thể tích khối chóp S.ABC.
-
Gọi V là thể tích của hình lập phương \(ABCD.A'B'C'D'\). \({{V}_{1}}\) là thể tích của tứ diện \(A'ABD\) . Hệ thức nào sau đây là đúng ?
-
Cho khối chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh \(a\sqrt 3 \), cạnh SA vuông góc với mặt phẳng \(\left( {ABCD} \right)\) và SB tạo với đáy một góc \(60^\circ \). Tính thể tích V của khối chóp S.ABCD.
-
Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thang vuông tại A và B , AD = 2a, AB = BC = a,SA vuông góc với đáy, SB tạo với đáy một góc 30o. Tính tỉ số thể tích \(\frac{{{V_{SABD}}}}{{{V_{SBCD}}}}?\)
-
Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy ABCD là hình chữ nhật, AB=a, BC=2a, đường thẳng \(SA\) vuông góc với mặt phẳng \(\left( ABCD \right)\) và \(SA=3a\). Thể tích của khối chóp \(S.ABCD\) bằng
-
Cho hình lăng trụ \(ABC.A'B'C'\) có đáy ABC là tam giác đều cạnh bằng a. Hình chiếu vuông góc của A’ xuống mặt phẳng (ABC) là trung điểm của AB. Mặt bên (AA’C’C) tạo với đáy một góc bằng 450. Thể tích của khối lăng trụ \(ABC.A'B'C'\) bằng:
-
Cho hình chóp tứ giác đều \(S.ABCD.\) Gọi A', B', C', D' theo thứ tự là trung điểm của AB, BC, CD, \(DA.\) Khi đó tỉ số thể tích của hai khối chóp S.A'B'C'D' và S.ABCD bằng ?
-
Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình chữ nhật với \(A B=3 a, \quad B C=a\) . Cạnh bên SD vuông góc với mặt phẳng đáy và S D=2 a Thể tích của khối chóp đã cho bằng
-
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, cạnh bên SA vuông góc với mặt phẳng đáy và \(SA = a\sqrt 2 \). Tính thể tích V của hình chóp S.ABCD.
-
Cho hình lập phương có thể tích bằng 27. Diện tích toàn phần của hình lập phương là:
-
Cho lăng trụ tứ giác đều ABCD.A'B'C'D' có cạnh đáy bằng a và cạnh bên bằng 9a. Tính thể tích khối lăng trụ đó.
-
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, cạnh bên SA vuông góc mặt đáy, \(SA = a\sqrt 6 \). Tính thể tích khối chóp S.ABCD.
-
Cho hình lăng trụ đều \(ABC.{A}'{B}'{C}'\). Mặt phẳng \(({A}'BC)\) tạo với mặt phẳng (ABC) một góc \(30{}^\circ \) và tam giác \({A}'BC\) có diện tích bằng \(8{{a}^{2}}\). Tính thể tích khối lăng trụ \(ABC.{A}'{B}'{C}'\).
-
Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’ có đáy là hình vuông cạnh 2a và A’B = 3a. Tính thể tích khối hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’ theo a.
